Estudos indicam que aproximadamente 50,13% dos e-mails recebidos por uma pessoa são classificados como spam. Nesse contexto, um cientista da computação desenvolveu um software capaz de filtrar esse tipo de mensagem antes mesmo que esta chegue à caixa de entrada. Segundo o desenvolvedor, o software é capaz de detectar 97,44% dos emails que são spans, mas em aproximadamente 6,01% das vezes ele classifica incorretamente uma mensagem como sendo desta natureza. Nesse cenário, se um e-mail foi detectado como spam, qual a probabilidade de que o software tenha feito uma classificação incorreta? Utilize quatro casas decimais para arredondamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de um e-mail ser spam e como um software tenta filtrar esses e-mails. A gente vai usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver isso. Precisamos das seguintes informações:
  • Probabilidade de um e-mail ser spam (P(S)): 50,13% ou 0,5013.
  • Probabilidade do software detectar um spam corretamente (P(D|S)): 97,44% ou 0,9744.
  • Probabilidade do software classificar incorretamente um e-mail como spam (P(D|¬S)): 6,01% ou 0,0601.
Nossa missão é descobrir: Qual a probabilidade de que, se um e-mail foi detectado como spam, ele na verdade não seja spam? Ou seja, queremos encontrar P(¬S|D).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos calcular. Para achar P(¬S|D), vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter as probabilidades condicionais. Mas antes disso, precisamos calcular a probabilidade total de o software detectar um e-mail como spam (P(D)). Isso inclui tanto os casos em que ele detecta corretamente um spam quanto os casos em que erra e classifica um e-mail normal como spam.
A fórmula para P(D) é:
P(D) = P(D|S) times P(S) + P(D|¬S) times P(¬S)

Passo 3

Vamos calcular P(D) usando os valores que temos:
  1. P(D|S) × P(S):
0,9744 times 0,5013 = 0,48846672
  1. P(D|¬S) × P(¬S):
0,0601 times (1 - 0,5013) = 0,0601 times 0,4987 = 0,02997187
Somando esses dois resultados:
P(D) = 0,48846672 + 0,02997187 = 0,51843859

Passo 4

Agora que temos P(D), podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar P(¬S|D):
P(¬S|D) = P(D|¬S) times P(¬S)P(D)
Substituindo os valores:
P(¬S|D) = 0,0601 times 0,49870,51843859 = 0,029971870,51843859 approx 0,0577

Resposta

A probabilidade de que o software tenha feito uma classificação incorreta é aproximadamente 0,0577.

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