Física III
G04 - 03/dez/2024
Prof. Daniel Zini Rossatto
Nomes: Nota:

JUSTIFIQUE SUAS PASSAGENS

Uma partícula com carga q>0 se move com velocidade v no sentido k através de uma região onde existe um campo magnético B. A força magnética sobre a partícula é dada por F=F0(3 imath+4 jmath), em que F0 é uma constante positiva.
Se, além das informações dadas, soubermos que o campo magnético possui módulo igual a 6 F0 / q v, determine tudo o que você puder sobre os componentes de F restantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com carga positiva $ q > 0 $ se movendo com velocidade $ \vec{v} $ na direção $ \hat{k} $ (ou seja, ao longo do eixo z). Essa partícula passa por uma região onde existe um campo magnético $ \vec{B} $. A força magnética que age sobre ela é dada por $ \vec{F} = F_0 (3, \hat{\imath} + 4, \hat{\jmath}) $, onde $ F_0 $ é uma constante positiva. Além disso, sabemos que o módulo do campo magnético é $ |\vec{B}| = \frac{6 F_0}{q v} $.
Nosso objetivo aqui é descobrir tudo o que pudermos sobre os componentes restantes de $ \vec{F} $, ou seja, o componente na direção $ \hat{k} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da lei que relaciona a força magnética $ \vec{F} $ com a carga, a velocidade e o campo magnético. Essa é a Lei de Lorentz:
F
Aqui, $ \times $ representa o produto vetorial entre os vetores $ \vec{v} $ e $ \vec{B} $. O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 3

Sabemos que a velocidade $ \vec{v} $ está na direção $ \hat{k} $, ou seja:
v
E o campo magnético $ \vec{B} $ tem um módulo de $ \frac{6 F_0}{q v} $, mas ainda não sabemos suas componentes. Vamos assumir que:
k
Nosso objetivo é determinar os valores de $ B_x $, $ B_y $ e $ B_z $ que resultam na força dada $ \vec{F} = F_0 (3, \hat{\imath} + 4, \hat{\jmath}) $.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{B} $:
v times B
Lembrando que:
v times B = v, k times (Bx, imath + By, jmath + Bz, k)
Então:
k times imath = jmath, k times jmath = -imath, k times k = 0

Passo 5

Agora, aplicando a Lei de Lorentz:
F = q (v times B) = q v (-By, i + Bx, j)
Mas sabemos que $ \vec{F} = F_0 (3, \hat{\imath} + 4, \hat{\jmath}) $. Igualando as componentes:
Para $ \hat{\imath} $:
F = F0 (3, imath + 4, jmath)
Para $ \hat{\jmath} $:
imath
E para $ \hat{k} $:
- q v By = 3 F0
Isso significa que o componente na direção $ \hat{k} $ da força magnética é zero.

Passo 6

Vamos resolver para $ B_x $ e $ B_y $:
Da equação para $ \hat{\jmath} $:
Bx
Da equação para $ \hat{\imath} $:
By
E sabemos que $ |\vec{B}| = \frac{6 F_0}{q v} $, então:
jmath
Substituindo $ B_x $ e $ B_y $:
Bx = 4 F0q v
Calculando os quadrados:
imath
Somando os termos:
By = -3 F0q v
Elevando ambos os lados ao quadrado:
|B| = 6 F0q v
Isolando $ B_z^2 $:
|B| = raizBx^2 + By^2 + Bz^2 = 6 F0q v
Então:
Bx

Resposta

Os componentes do campo magnético são:
Bx = 4 F0q v, By = -3 F0q v, Bz = pm raiz11 F0q v
E o componente da força na direção $ \hat{k} $ é:
k

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