Física III
G04 - 03/dez/2024
Prof. Daniel Zini Rossatto
Nomes:
Nota:
JUSTIFIQUE SUAS PASSAGENS
Uma partícula com carga
se move com velocidade
no sentido
através de uma região onde existe um campo magnético
. A força magnética sobre a partícula é dada por
, em que
é uma constante positiva.
Se, além das informações dadas, soubermos que o campo magnético possui módulo igual a
, determine tudo o que você puder sobre os componentes de
restantes.
G04 - 03/dez/2024
Prof. Daniel Zini Rossatto
Nomes:
Se, além das informações dadas, soubermos que o campo magnético possui módulo igual a
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com carga positiva $ q > 0 $ se movendo com velocidade $ \vec{v} $ na direção $ \hat{k} $ (ou seja, ao longo do eixo z). Essa partícula passa por uma região onde existe um campo magnético $ \vec{B} $. A força magnética que age sobre ela é dada por $ \vec{F} = F_0 (3, \hat{\imath} + 4, \hat{\jmath}) $, onde $ F_0 $ é uma constante positiva. Além disso, sabemos que o módulo do campo magnético é $ |\vec{B}| = \frac{6 F_0}{q v} $.
Nosso objetivo aqui é descobrir tudo o que pudermos sobre os componentes restantes de $ \vec{F} $, ou seja, o componente na direção $ \hat{k} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da lei que relaciona a força magnética $ \vec{F} $ com a carga, a velocidade e o campo magnético. Essa é a Lei de Lorentz:
Aqui, $ \times $ representa o produto vetorial entre os vetores $ \vec{v} $ e $ \vec{B} $. O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Passo 3
Sabemos que a velocidade $ \vec{v} $ está na direção $ \hat{k} $, ou seja:
E o campo magnético $ \vec{B} $ tem um módulo de $ \frac{6 F_0}{q v} $, mas ainda não sabemos suas componentes. Vamos assumir que:
Nosso objetivo é determinar os valores de $ B_x $, $ B_y $ e $ B_z $ que resultam na força dada $ \vec{F} = F_0 (3, \hat{\imath} + 4, \hat{\jmath}) $.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{B} $:
Lembrando que:
Então:
Passo 5
Agora, aplicando a Lei de Lorentz:
Mas sabemos que $ \vec{F} = F_0 (3, \hat{\imath} + 4, \hat{\jmath}) $. Igualando as componentes:
Para $ \hat{\imath} $:
Para $ \hat{\jmath} $:
E para $ \hat{k} $:
Isso significa que o componente na direção $ \hat{k} $ da força magnética é zero.
Passo 6
Vamos resolver para $ B_x $ e $ B_y $:
Da equação para $ \hat{\jmath} $:
Da equação para $ \hat{\imath} $:
E sabemos que $ |\vec{B}| = \frac{6 F_0}{q v} $, então:
Substituindo $ B_x $ e $ B_y $:
Calculando os quadrados:
Somando os termos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando $ B_z^2 $:
Então:
Resposta
Os componentes do campo magnético são:
E o componente da força na direção $ \hat{k} $ é: