Duas ondas luminosas no vácuo de comprimento de onda de 400 nm , estão inicialmenteem fase. A primeira atravessa um bloco de vidro de espessura L e índice de refração n_{1}=1,6. A segunda atravessa um bloco de plástico com a mesma espessura e de índice de refração n_{2}=1,5.
(a) Qual é o menor valor de L para que as ondas saiam dos blocos com uma diferença de fase 6rad? (Resp: 31, 84, 7nm)
(b) Se as ondas forem superpostas em uma tela, qual será o tipo de interferência resultante?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumidos e claros):
  • Duas ondas luminosas no vácuo têm comprimento de onda \lambda_{0}=400\\ \text{nm}.
  • Estão inicialmente em fase antes de atravessarem os blocos.
  • A primeira passa por um bloco de vidro com espessura L e índice de refração n_{1}=1{,}6.
  • A segunda passa por um bloco de plástico com a mesma espessura L e índice de refração n_{2}=1{,}5.
  • Pergunta (a): Qual é o menor valor de L para que as ondas saiam dos blocos com uma diferença de fase \Delta\varphi=6\\ \text{rad}?
  • Pergunta (b): Se as ondas forem superpostas numa tela, qual será o tipo de interferência resultante?

Passo 2

Conceito chave: como a diferença de índice gera diferença de fase.
Quando uma onda atravessa um meio de índice de refração n ao percorrer distância L, a fase acumulada por essa onda (em relação à mesma distância no vácuo) é proporcional ao produto nL. A constante de proporcionalidade é o número de onda no vácuo k_{0}, onde
k_{0}=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}.
Portanto a fase acumulada ao atravessar o bloco é
\varphi = k_{0}\, n\, L = \frac{2\pi}{\lambda_{0}}\, n\, L.
Aqui:
  • \lambda_{0} é o comprimento de onda no vácuo (dado),
  • n é o índice do meio,
  • L é a espessura do bloco.

Passo 3

Diferença de fase entre as duas ondas após atravessarem os blocos.
Cada onda acumula fases \phi_{1}=\dfrac{2\pi}{\lambda_{0}}\, n_{1}L e \phi_{2}=\dfrac{2\pi}{\lambda_{0}}\, n_{2}L. Como começaram em fase, a diferença de fase ao saírem é
\Delta\varphi=\phi_{1}-\phi_{2}=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}(n_{1}-n_{2})L.
Isto é uma relação linear em L. Para um dado \Delta\varphi conhecido, isolamos L:
L=\frac{\Delta\varphi\,\lambda_{0}}{2\pi (n_{1}-n_{2})}.

Passo 4

Aplicando os valores numéricos para encontrar o menor L que produz \Delta\varphi=6\\ \text{rad}.
Dados usados:
\lambda_{0}=400\\ \text{nm},\qquad n_{1}-n_{2}=1{,}6-1{,}5=0{,}1,\qquad \Delta\varphi=6.
Substituindo na fórmula:
L=\frac{6\cdot 400\\ \text{nm}}{2\pi\cdot 0{,}1}.

Passo 5

Cálculo passo a passo da expressão numérica:
Primeiro calcule o denominador:
2\pi\cdot 0{,}1 = 0{,}2\pi \approx 0{,}62831853.
O numerador é
6\cdot 400\\ \text{nm}=2400\\ \text{nm}.
Agora a divisão:
L \approx \frac{2400}{0{,}62831853}\\ \text{nm}\approx 3819{,}7\\ \text{nm}.
Arredondando sensivelmente (duas casas significativas acordes com dados):
L \approx 3{,}82\\ \mu\text{m} = 3{,}820\\ \text{nm}.

Passo 6

Interpretação física: este L é o menor valor positivo que dá exatamente \Delta\varphi=6\\ \text{rad} (a diferença de fase cresce linearmente com L, então o primeiro encontro com 6 rad é esse).

Passo 7

Tipo de interferência na tela — regra prática e cálculo:
A intensidade resultante da superposição de duas ondas coerentes de mesma amplitude é
I = I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\Delta\varphi.
Se as amplitudes forem iguais ( I_{1}=I_{2}=I_{0}), isso vira
I = 2I_{0}\big(1+\cos\Delta\varphi\big)=4I_{0}\cos^{2}\!\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right).
  • Se \cos\Delta\varphi=+1 (isto é \Delta\varphi=2\pi m) temos interferência construtiva máxima.
  • Se \cos\Delta\varphi=-1 (isto é \Delta\varphi=(2m+1)\pi) temos interferência destrutiva máxima.
    Para \Delta\varphi=6\\ \text{rad} calculemos \cos 6.

Passo 8

Cálculo de \cos 6 e conclusão sobre o tipo de interferência:
\cos 6 \approx 0{,}96017\quad(\text{valor aproximado}),
que é positivo e próximo de 1. Logo a intensidade é maior que a soma simples das intensidades individuais sem interferência, ou seja, há interferência construtiva parcial (próxima de máximo). Em linguagem simples: resulta um máximo brilhante (construtivo), não um mínimo.

Resposta

L \approx 3{,}82\\ \mu\text{m} (ou 3{,}820\\ \text{nm}).
Interferência construtiva (parcial, próxima do máximo).

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