Um feixe de luz de comprimento de onda de 800 nm incide em uma fenda estreita e a diferença angular entre os primeiros mínimos de difração de cada lado do máximo central é de 3 graus. Qual é a largura da fenda? (Resp: \approx 31561,24 n m )

Passo 1

O enunciado dá um feixe de luz com comprimento de onda \lambda que incide numa fenda estreita e informa a diferença angular entre os primeiros mínimos laterais ao máximo central. As informações relevantes são:
\lambda = 800\\ \text{nm}.
A diferença angular entre os primeiros mínimos de cada lado do máximo central é \Delta = 3^\circ.
O que se pede: a largura da fenda, que chamaremos de a.

Passo 2

Conceito físico e fórmula principal (explicação didática):
Quando luz passa por uma fenda estreita e observamos o padrão de difração no foco (ou na tela em regime de Fraunhofer), os mínimos de intensidade ocorrem em ângulos \theta satisfazendo a condição de interferência destrutiva
a \sin\theta = m\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda (o que queremos),
  • \theta é o ângulo medido a partir da direção central (o máximo central),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz,
  • m é um inteiro não nulo que indica a ordem do mínimo ( m=\pm1,\pm2,\dots).
    Breve justificativa física: podemos imaginar ondas saindo de diferentes pontos da fenda; para que haja mínimo, contribuições de partes distintas da fenda interferem de forma a se cancelarem quando a diferença de caminho efetivo entre têm múltiplos inteiros de \lambda. Essa condição resulta na fórmula acima.

Passo 3

Identificar qual \theta usar:
O enunciado deu a diferença angular entre o primeiro mínimo de um lado e o primeiro mínimo do outro lado, ou seja \Delta = 2\theta_1, onde \theta_1 é o ângulo do primeiro mínimo (magnitude). Portanto
\theta_1 = \frac{\Delta}{2} = \frac{3^\circ}{2} = 1{,}5^\circ.

Passo 4

Escolher m e montar a equação para a:
Para o primeiro mínimo usamos m=1, logo a condição é
a \sin\theta_1 = \lambda.
Isolando a temos a fórmula prática:
a = \frac{\lambda}{\sin\theta_1}.
Aqui \lambda e \theta_1 são conhecidos; vamos calcular.

Passo 5

Converter \theta_1 para radiano (quando útil) e calcular \sin\theta_1:
Primeiro a conversão para radianos (só para referência; podemos usar diretamente seno de graus):
\theta_1 = 1{,}5^\circ = 1{,}5\cdot\frac{\pi}{180}\\ \text{rad} \approx 0{,}02617993878\\ \text{rad}.
Agora o seno:
\sin(1{,}5^\circ) \approx 0{,}026176948307873.
(Se preferir usar aproximação de pequeno ângulo, \sin\theta\approx\theta em radianos dá valor muito próximo: 0{,}0261799, resultado similar.)

Passo 6

Calcular a com os valores numéricos:
Usando \lambda = 800\\ \text{nm} e \sin\theta_1 \approx 0{,}0261769483,
a = \frac{800\\ \text{nm}}{0{,}026176948307873}\approx 30558\\ \text{nm}.
Converter para unidades mais usuais, se quiser:
30558\\ \text{nm} = 30{,}558\\ \mu\text{m}.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova:
A largura da fenda é da ordem de dezenas de micrômetros. Em provas, o procedimento é sempre o mesmo: identificar que a condição de mínimos é a\sin\theta=m\lambda, determinar \theta a partir do dado (aqui metade da diferença angular), escolher m adequado (aqui m=1) e isolar a. Para cálculos rápidos, a aproximação \sin\theta\approx\theta (em radianos) funciona bem para ângulos pequenos como 1{,}5^\circ.

Resposta

a \approx 30558\\ \text{nm}

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