Encontre a relação entre o ângulo de espalhamento e os picos de máximos e mínimos para o experimento da dupla fenda.

Passo 1

O que o enunciado pede: quero a relação entre o ângulo de espalhamento e onde aparecem os picos de máximos e mínimos no experimento da dupla fenda.
Informações relevantes (implícitas no problema típico da dupla fenda):
  • Há duas fendas separadas por uma distância d.
  • A luz (ou ondas) usadas têm comprimento de onda \lambda.
  • Observamos a figura de interferência em uma tela distante formando um ângulo \theta medido a partir da normal ao plano das fendas.
  • Podemos também usar a distância da fenda à tela L para relacionar ângulo com posição y na tela (se solicitado).
    O objetivo concreto: escrever condições que relacionem \theta com os máximos (picos) e os mínimos (vales) de intensidade.

Passo 2

Entendendo geometricamente a diferença de caminho entre as ondas que saem das duas fendas.
Imagine duas fendas A e B separadas por d. Uma direção de observação forma um ângulo \theta com a normal. A diferença de caminho percorrida pelas ondas que chegam ao mesmo ponto da tela é, por construção geométrica,
\Delta = d\,\sin\theta.
Explicação curta e intuitiva: projetando a separação d na direção perpendicular às frentes de onda que chegam ao observador, a componente da separação na direção de propagação é d\sin\theta. Essa é a sobra de distância que uma das ondas percorre a mais.

Passo 3

Transformando diferença de caminho em diferença de fase.
Uma diferença de caminho \Delta corresponde a uma diferença de fase \delta entre as ondas dada por
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta.
Substituindo \Delta = d\sin\theta obtemos
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta.
Interpretação: se \delta é um múltiplo inteiro de 2\pi, as ondas chegam em fase (reforço). Se \delta é um múltiplo ímpar de \pi, chegam em defase máximo (cancelamento).

Passo 4

Condição para interferência construtiva (máximos).
Para máximos queremos que as ondas cheguem em fase, isto é \delta = 2\pi m com m inteiro ( m=0,\pm1,\pm2,\dots). Usando a expressão de \delta,
\frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta = 2\pi m.
Cancelando 2\pi,
d\,\sin\theta = m\,\lambda.
Explicando os símbolos: m é a ordem do máximo (o centro brilhante é m=0, os outros são m=\pm1,\pm2,\dots). Essa é a relação direta entre o ângulo \theta e os picos de máximos.

Passo 5

Condição para interferência destrutiva (mínimos).
Para mínimos queremos que as ondas cheguem em defase de \pi (meio ciclo) mais múltiplos inteiros de 2\pi, ou seja \delta = (2m+1)\pi. Substituindo,
\frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta = (2m+1)\pi.
Dividindo por \pi e simplificando,
d\,\sin\theta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda.
Aqui m é inteiro ( m=0,\pm1,\pm2,\dots). Essa é a relação entre \theta e os ângulos onde aparecem os vales (mínimos) de intensidade.

Passo 6

Relação de intensidade (para intuir por que máximos e mínimos acontecem) — soma das amplitudes.
Se cada fenda emite uma onda de mesma amplitude E_0, as duas ondas somadas dão (usando representação fasorial)
E_{\text{res}} = E_0 e^{i\omega t} + E_0 e^{i(\omega t + \delta)} = 2E_0\cos\!\left(\tfrac{\delta}{2}\right)e^{i(\omega t + \tfrac{\delta}{2})}.
A intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude resultante, logo (definindo I_{\max} como intensidade do máximo)
I(\theta) = I_{\max}\cos^2\!\left(\tfrac{\delta}{2}\right)
com \delta = \dfrac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta. Isso mostra por que \delta=2\pi m (onde \cos(\delta/2)=\pm1) dá máximo e \delta=(2m+1)\pi (onde \cos(\delta/2)=0) dá mínimo.

Passo 7

Aproximação de pequeno ângulo e posição dos franjamentos na tela.
Quando a tela está distante ( L\gg d) e os ângulos são pequenos, podemos aproximar \sin\theta\approx \tan\theta \approx \theta (em radianos). A posição y de uma franja no eixo perpendicular à direção central é
y \approx L\,\tan\theta \approx L\,\sin\theta.
Usando a condição de máximos d\sin\theta = m\lambda,
y_m \approx L\,\frac{m\lambda}{d}.
A separação entre frentes consecutivos (fringe spacing) é
\Delta y = y_{m+1}-y_m \approx \frac{\lambda L}{d}.
Dica prática para prova: se pedirem distância entre máximos use \Delta y=\lambda L/d sob a hipótese de pequeno ângulo.

Passo 8

Efeito do envelope de difração (quando as fendas têm largura finite a).
Na prática, cada fenda difrata a luz; o padrão observado é a interferência modulada pelo envelope de difração de uma única fenda. A fórmula combinada da intensidade é
I(\theta)=I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)\left[\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\big)}{\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}}\right]^{\!2},
onde a é a largura de cada fenda. As mínimas do envelope ocorrem quando a\sin\theta = n\lambda ( n=\pm1,\pm2,\dots) e podem fazer desaparecer certos máximos de interferência se coincidirem.

Passo 9

Resumo prático e dica de resolução rápida na prova:
  • Identifique d e \lambda.
  • Calcule \Delta=d\sin\theta e transforme em fase \delta=(2\pi/\lambda)\Delta.
  • Use d\sin\theta=m\lambda para máximos e d\sin\theta=(m+\tfrac{1}{2})\lambda para mínimos.
  • Se pedirem posição na tela, use y_m\approx L\,m\lambda/d (pequeno ângulo).
    Força aí — com essas fórmulas você identifica rápido onde aparecem os picos na figura de interferência.

Resposta

d\,\sin\theta = m\,\lambda (condição para máximos, m\in\mathbb{Z}).
d\,\sin\theta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda (condição para mínimos, m\in\mathbb{Z}).
Para pequeno ângulo: y_m \approx L\,\dfrac{m\lambda}{d} e \Delta y \approx \dfrac{\lambda L}{d}.

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