Encontre a relação entre o ângulo de espalhamento e os picos de máximos e mínimos para o experimento da dupla fenda.
Passo 1
O que o enunciado pede: quero a relação entre o ângulo de espalhamento e onde aparecem os picos de máximos e mínimos no experimento da dupla fenda.
Informações relevantes (implícitas no problema típico da dupla fenda):
Informações relevantes (implícitas no problema típico da dupla fenda):
- Há duas fendas separadas por uma distância
. - A luz (ou ondas) usadas têm comprimento de onda
. - Observamos a figura de interferência em uma tela distante formando um ângulo
medido a partir da normal ao plano das fendas. - Podemos também usar a distância da fenda à tela
para relacionar ângulo com posição na tela (se solicitado).
O objetivo concreto: escrever condições que relacionemcom os máximos (picos) e os mínimos (vales) de intensidade.
Passo 2
Entendendo geometricamente a diferença de caminho entre as ondas que saem das duas fendas.
Imagine duas fendas A e B separadas por . Uma direção de observação forma um ângulo
com a normal. A diferença de caminho percorrida pelas ondas que chegam ao mesmo ponto da tela é, por construção geométrica,
Imagine duas fendas A e B separadas por
Explicação curta e intuitiva: projetando a separação
na direção perpendicular às frentes de onda que chegam ao observador, a componente da separação na direção de propagação é
. Essa é a sobra de distância que uma das ondas percorre a mais.
Passo 3
Transformando diferença de caminho em diferença de fase.
Uma diferença de caminho corresponde a uma diferença de fase
entre as ondas dada por
Uma diferença de caminho
Substituindo
obtemos
Interpretação: se
é um múltiplo inteiro de
, as ondas chegam em fase (reforço). Se
é um múltiplo ímpar de
, chegam em defase máximo (cancelamento).
Passo 4
Condição para interferência construtiva (máximos).
Para máximos queremos que as ondas cheguem em fase, isto é com
inteiro (
). Usando a expressão de
,
Para máximos queremos que as ondas cheguem em fase, isto é
Cancelando
,
Explicando os símbolos:
é a ordem do máximo (o centro brilhante é
, os outros são
). Essa é a relação direta entre o ângulo
e os picos de máximos.
Passo 5
Condição para interferência destrutiva (mínimos).
Para mínimos queremos que as ondas cheguem em defase de (meio ciclo) mais múltiplos inteiros de
, ou seja
. Substituindo,
Para mínimos queremos que as ondas cheguem em defase de
Dividindo por
e simplificando,
Aqui
é inteiro (
). Essa é a relação entre
e os ângulos onde aparecem os vales (mínimos) de intensidade.
Passo 6
Relação de intensidade (para intuir por que máximos e mínimos acontecem) — soma das amplitudes.
Se cada fenda emite uma onda de mesma amplitude , as duas ondas somadas dão (usando representação fasorial)
Se cada fenda emite uma onda de mesma amplitude
A intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude resultante, logo (definindo
como intensidade do máximo)
com
. Isso mostra por que
(onde
) dá máximo e
(onde
) dá mínimo.
Passo 7
Aproximação de pequeno ângulo e posição dos franjamentos na tela.
Quando a tela está distante ( ) e os ângulos são pequenos, podemos aproximar
(em radianos). A posição
de uma franja no eixo perpendicular à direção central é
Quando a tela está distante (
Usando a condição de máximos
,
A separação entre frentes consecutivos (fringe spacing) é
Dica prática para prova: se pedirem distância entre máximos use
sob a hipótese de pequeno ângulo.
Passo 8
Efeito do envelope de difração (quando as fendas têm largura finite
).
Na prática, cada fenda difrata a luz; o padrão observado é a interferência modulada pelo envelope de difração de uma única fenda. A fórmula combinada da intensidade é
Na prática, cada fenda difrata a luz; o padrão observado é a interferência modulada pelo envelope de difração de uma única fenda. A fórmula combinada da intensidade é
onde
é a largura de cada fenda. As mínimas do envelope ocorrem quando
(
) e podem fazer desaparecer certos máximos de interferência se coincidirem.
Passo 9
Resumo prático e dica de resolução rápida na prova:
- Identifique
e . - Calcule
e transforme em fase . - Use
para máximos e para mínimos. - Se pedirem posição na tela, use
(pequeno ângulo).
Força aí — com essas fórmulas você identifica rápido onde aparecem os picos na figura de interferência.
Resposta
Para pequeno ângulo: