Duas ondas de mesma frequência e mesma amplitude A=2 m se propagam na mesma direção e são descritas pelas funções y1(x, t)=A sin (k x-omega t) e y2(x, t)=A sin (k x-omega t+phi).
  • (a) Escreva a expressão da onda resultante y(x, t)=y1(x, t)+y2(x, t).

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre ondas que estão na mesma direção, com a mesma frequência e amplitude. Precisamos somar duas ondas dadas pelas funções e para encontrar a onda resultante .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos somando duas funções seno que têm a mesma amplitude e a mesma frequência angular , mas uma delas está deslocada em fase por um ângulo . Para somar essas duas ondas, usamos uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar a soma de duas funções seno com argumentos semelhantes.

Passo 3

A identidade trigonométrica que vamos utilizar é:
sin alpha + sin beta = 2 sin(alpha + beta2) cos(alpha - beta2)
Aqui, podemos considerar e .

Passo 4

Aplicando a identidade trigonométrica à soma y(x, t) = A sin(kx - omega t) + A sin(kx - omega t + phi) :
y(x, t) = 2A sin((kx - omega t) + (kx - omega t + phi)2) cos((kx - omega t) - (kx - omega t + phi)2)

Passo 5

Vamos simplificar as expressões dentro das funções seno e cosseno:
(kx - omega t) + (kx - omega t + phi)2 = kx - omega t + phi2
(kx - omega t) - (kx - omega t + phi)2 = -phi2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de y(x, t) = 2A sin(kx - omega t + phi2) cos(-phi2) :
y(x, t) = 2A cos(phi2) sin(kx - omega t + phi2)
Como o cosseno é uma função par, , então:

Resposta

A onda resultante é dada por:
y(x, t) = 2A cos(phi2) sin(kx - omega t + phi2)

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