(2,0 PONTOS) De uma estaçäo parte um trem A com velocidade constante vA=80 km / h. Depois de certo tempo, parte dessa mesma estação um outro trem B, com velocidade constante vB=100 km / h. Depois de um tempo de percurso, o maquinista do trem B verifica que o seu trem se encontra a 3 km de distância do trem A . A partir deste instante, ele aciona os freios indefinidamente, comunicando ao trem uma aceleraçăo a=-50 km / h^2. O trem A continua seu movimento anterior. Nessas condiçőes, os trens se chocarão? Se sim, quanto tempo levará até que os trens colidam?

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos dois trens saindo da mesma estação, mas em momentos diferentes e com velocidades diferentes. O trem A sai primeiro com velocidade constante de . Depois de um tempo, o trem B parte com velocidade constante de . Em um certo momento, o maquinista do trem B percebe que está a 3 km de distância do trem A e decide frear com uma aceleração de . Enquanto isso, o trem A continua na sua velocidade constante.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de movimento retilíneo uniforme (MRU) para o trem A e movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) para o trem B após os freios serem acionados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que leva para o trem B alcançar o ponto onde está a 3 km de distância do trem A e começar a frear. Suponhamos que o trem A já está se movendo há um tempo sA = vA cdot t quando o trem B parte.
A posição do trem A após o tempo sB = 0 é:
A posição do trem B após o mesmo tempo é:
(since it just starts moving)
Quando o trem B começa a se mover, ele precisa alcançar o trem A. A diferença inicial de distância é 3 km.
Então, o trem B precisa percorrer esses 3 km a mais que o trem A.

Passo 3

Vamos agora determinar o tempo até o trem B perceber que está a 3 km do trem A. Para isso, precisamos igualar as posições dos dois trens.
A posição do trem A:
sA = vA cdot t
A posição do trem B antes de frear:
sB = vB cdot t
A diferença de distância entre eles é:
sA - sB = 3 , km
Substituindo:
80t - 100t = 3
-20t = 3
t = -320 , h
Como o tempo não pode ser negativo, percebemos que há um erro na abordagem. Isso indica que o trem B não precisa esperar para começar a frear, já que está mais rápido e alcançará o trem A rapidamente. Portanto, vamos considerar o momento em que o trem B começa a frear estando a 3 km atrás do trem A.

Passo 4

A partir do momento que o trem B começa a frear, temos duas situações:
  • Trem A continua a se mover com velocidade constante sA(t) = sA0 + vA cdot t .
  • Trem B está desacelerando com sB(t) = sB0 + vB cdot t + 12 a t^2 .
Vamos definir sB(t) = 100t - 502 t^2 = 100t - 25t^2 como o instante em que o trem B começa a frear. Queremos saber se, com essas condições, os trens irão colidir e em quanto tempo.
A posição do trem A após o tempo será:
Como o trem A já está se movendo antes do trem B começar a frear, vamos assumir que .
A posição do trem B será:
Onde (referenciando o ponto onde ele começa a frear).
Portanto:

Passo 5

Para que os trens se choquem, as posições deles devem ser iguais no mesmo tempo sA(t) = sB(t) :
3 + 80t = 100t - 25t^2
Substituindo:
25t^2 - 20t - 3 = 0
Reorganizando a equação:
Agora temos uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar o valor de .

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
25t^2 - 20t - 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde De, t = 20 pm raiz70050 , e t = 20 pm raiz100 cdot 750 .
Calculando o discriminante:
t = 20 pm 10raiz750
Então:
t = 2 pm raiz75
t = 2 + raiz75 , h
t approx 2 + 2.64585 = 4.64585 approx 0.9292 , h
0.9292 , h times 60 , min/h approx 55.75 , min
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo. Portanto:
Convertendo para minutos:

Resposta

Sim, os trens irão se chocar aproximadamente após 55,75 minutos.

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