(2,0 PONTOS) De uma estaçäo parte um trem
com velocidade constante
. Depois de certo tempo, parte dessa mesma estação um outro trem
, com velocidade constante
. Depois de um tempo de percurso, o maquinista do trem
verifica que o seu trem se encontra a 3 km de distância do trem A . A partir deste instante, ele aciona os freios indefinidamente, comunicando ao trem uma aceleraçăo
. O trem A continua seu movimento anterior. Nessas condiçőes, os trens se chocarão? Se sim, quanto tempo levará até que os trens colidam?
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos dois trens saindo da mesma estação, mas em momentos diferentes e com velocidades diferentes. O trem A sai primeiro com velocidade constante de
. Depois de um tempo, o trem B parte com velocidade constante de
. Em um certo momento, o maquinista do trem B percebe que está a 3 km de distância do trem A e decide frear com uma aceleração de
. Enquanto isso, o trem A continua na sua velocidade constante.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de movimento retilíneo uniforme (MRU) para o trem A e movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) para o trem B após os freios serem acionados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tempo que leva para o trem B alcançar o ponto onde está a 3 km de distância do trem A e começar a frear. Suponhamos que o trem A já está se movendo há um tempo
quando o trem B parte.
A posição do trem A após o tempo
é:
A posição do trem B após o mesmo tempo
é:
(since it just starts moving)
Quando o trem B começa a se mover, ele precisa alcançar o trem A. A diferença inicial de distância é 3 km.
Então, o trem B precisa percorrer esses 3 km a mais que o trem A.
Passo 3
Vamos agora determinar o tempo até o trem B perceber que está a 3 km do trem A. Para isso, precisamos igualar as posições dos dois trens.
A posição do trem A:
A posição do trem B antes de frear:
A diferença de distância entre eles é:
Substituindo:
Como o tempo não pode ser negativo, percebemos que há um erro na abordagem. Isso indica que o trem B não precisa esperar para começar a frear, já que está mais rápido e alcançará o trem A rapidamente. Portanto, vamos considerar o momento em que o trem B começa a frear estando a 3 km atrás do trem A.
Passo 4
A partir do momento que o trem B começa a frear, temos duas situações:
- Trem A continua a se mover com velocidade constante
. - Trem B está desacelerando com
.
Vamos definir
como o instante em que o trem B começa a frear. Queremos saber se, com essas condições, os trens irão colidir e em quanto tempo.
A posição do trem A após o tempo
será:
Como o trem A já está se movendo antes do trem B começar a frear, vamos assumir que
.
A posição do trem B será:
Onde
(referenciando o ponto onde ele começa a frear).
Portanto:
Passo 5
Para que os trens se choquem, as posições deles devem ser iguais no mesmo tempo
:
Substituindo:
Reorganizando a equação:
Agora temos uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar o valor de
.
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo. Portanto:
Convertendo para minutos:
Resposta
Sim, os trens irão se chocar aproximadamente após 55,75 minutos.