Uma partícula executa um movimento harmônico simples com posição x(t)= 3 cos (4 t+pi3).
  • © Determine a aceleração máxima da partícula.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma partícula que está se movendo de um jeito chamado movimento harmônico simples. A posição dela no tempo é dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração máxima que essa partícula alcança. Para isso, vamos precisar entender como a aceleração está relacionada à posição no movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples, a posição da partícula é descrita por uma função cosseno, onde:
  • é a amplitude (a maior deslocação da posição de equilíbrio),
  • é a frequência angular (quanto rápido o movimento oscila),
  • é a fase inicial (como começa o movimento no tempo ).
Dada a função , identificamos que:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 3

A aceleração no movimento harmônico simples é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Vamos calcular isso passo a passo.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de v(t) = dxdt = -3 cdot 4 sin(4 t + pi3) = -12 sin(4 t + pi3) para encontrar a velocidade :

Passo 4

Agora, derivamos a velocidade para encontrar a aceleração a(t) = dvdt = -12 cdot 4 cos(4 t + pi3) = -48 cos(4 t + pi3) :
a(t) = -48 cos(4 t + pi3)
Então, a função da aceleração é:

Passo 5

Para encontrar a aceleração máxima, observamos que o cosseno varia entre -1 e 1. A aceleração máxima ocorre quando o valor do cosseno é 1 ou -1, mas como estamos procurando o valor máximo absoluto, podemos considerar apenas o valor positivo.
Portanto:
amáx = 48 times 1 = 48 á

Resposta

A aceleração máxima da partícula é unidades de aceleração.

Exercícios relacionados