Uma partícula executa um movimento harmônico simples com posição
.
- © Determine a aceleração máxima da partícula.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma partícula que está se movendo de um jeito chamado movimento harmônico simples. A posição dela no tempo é dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração máxima que essa partícula alcança. Para isso, vamos precisar entender como a aceleração está relacionada à posição no movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples, a posição da partícula é descrita por uma função cosseno, onde:
-
é a amplitude (a maior deslocação da posição de equilíbrio), -
é a frequência angular (quanto rápido o movimento oscila), -
é a fase inicial (como começa o movimento no tempo ).
Dada a função
, identificamos que:
-
, -
, -
.
Passo 3
A aceleração no movimento harmônico simples é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Vamos calcular isso passo a passo.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de
para encontrar a velocidade
:
Passo 4
Agora, derivamos a velocidade para encontrar a aceleração
:
Então, a função da aceleração é:
Passo 5
Para encontrar a aceleração máxima, observamos que o cosseno varia entre -1 e 1. A aceleração máxima ocorre quando o valor do cosseno é 1 ou -1, mas como estamos procurando o valor máximo absoluto, podemos considerar apenas o valor positivo.
Portanto:
Resposta
A aceleração máxima da partícula é
unidades de aceleração.