Um oscilador harmônico criticamente amortecido está sujeito a uma força F(t)=F1 cos (omega t)+F2 sen(omega t). Se em t=0 este oscilador obedece as condições x(0)=0 e v(0)=0, determine seu movimento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador harmônico criticamente amortecido, que é basicamente um sistema que oscila mas, devido ao amortecimento, suas oscilações acabam morrendo rapidamente sem oscilar muito. Esse oscilador está recebendo uma força externa que é uma combinação de um cosseno e um seno com frequência omega, ou seja:
F(t) = F1 cos (omega t) + F2 sin (omega t)
Além disso, no tempo inicial $ t = 0 $, a posição e a velocidade do oscilador são zero:
t = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais que descrevem o movimento de osciladores amortecidos, e como forças externas influenciam esse movimento. Vamos passo a passo encontrar a função que descreve o movimento $ x(t) $ desse oscilador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve um oscilador harmônico com amortecimento e sujeito a uma força externa $ F(t) $. A equação geral é:
F(t)
Aqui:
  • $ m $ é a massa do oscilador,
  • $ c $ é o coeficiente de amortecimento,
  • $ k $ é a constante elástica da mola,
  • $ x(t) $ é a posição em função do tempo.
No nosso caso, como o oscilador é criticamente amortecido, sabemos que o amortecimento é exatamente o que impede qualquer oscilar mais uma vez após a perturbação inicial, ou seja, é o menor amortecimento que não permite oscilações adicionais.

Passo 3

Para um amortecimento crítico, a condição é que o coeficiente de amortecimento $ c $ seja igual a:
c
Então, podemos reescrever nossa equação diferencial usando essa condição:
c = 2 raizm k
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $ m $:
m d^2xdt^2 + 2 raizm k dxdt + k x = F(t)
Aqui, $ \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência natural não amortecida do sistema.

Passo 4

Agora, substituímos a força externa $ F(t) $ pela expressão dada na questão:
F(t)
Então, a equação fica:
F(t) = F1 cos (omega t) + F2 sin (omega t)
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea, onde o lado direito representa as forças externas aplicadas.

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e da solução particular (devido à força externa).
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
d^2xdt^2 + 2 raizkm dxdt + km x = 0
Essa equação característica associada é:
r^2 + 2 raizkm r + km = 0
Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes:
r = -2 raizkm pm raiz4 km - 4 km2 = -raizkm
Como ambas as raízes são iguais, a solução homogênea é:
xh(t) = (A + B t) e^-raizkm t
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular $ x_{p}(t) $ para a parte não homogênea da equação. Como a força externa é uma combinação de cosseno e seno, assumimos uma solução particular da forma:
xp(t)
Onde $ C $ e $ D $ são constantes a serem determinadas. Vamos derivar $ x_{p}(t) $ e substituir na equação diferencial para encontrar $ C $ e $ D $.
Primeiro, derivamos $ x_{p}(t) $:
xp(t) = C cos(omega t) + D sin(omega t)
C
Substituindo $ x_{p}(t) $ e suas derivadas na equação diferencial:
D

Passo 7

Agora, agrupamos os termos em cosseno e seno:
Termos de $ \cos(\omega t) $:
cos(omega t)
Termos de $ \sin(\omega t) $:
- C omega^2 + 2 D omega raizkm + km C = F1m
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas $ C $ e $ D $.

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. $ \left( -\omega^{2} + \frac{k}{m} \right) C + 2 \omega \sqrt{\frac{k}{m}} D = \frac{F_{1}}{m} $
  2. $ -2 \omega \sqrt{\frac{k}{m}} C + \left( -\omega^{2} + \frac{k}{m} \right) D = \frac{F_{2}}{m} $
Podemos representar esse sistema em forma matricial e resolver para $ C $ e $ D $:

$$
( -omega^2 + km ) C + 2 omega raizkm D = F1m
-2 omega raizkm C + ( -omega^2 + km ) D = F2m

C
$$
Resolvendo esse sistema, encontramos:
D
-omega^2 + km & 2 omega raizkm -2 omega raizkm & -omega^2 + km C D = F1m F2m

Passo 9

Agora, juntamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral:
x(t) = (A + B t) e^-raizkm t + C cos(omega t) + D sin(omega t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes determinadas pelas condições iniciais $ x(0) = 0 $ e $ v(0) = 0 $.

Passo 10

Aplicando as condições iniciais:
  1. $ x(0) = 0 $:
x(0) = 0
Logo, $ A = -C $.
  1. $ v(0) = 0 $:
    Derivando $ x(t) $:
0 = (A + B cdot 0) e^0 + C cos(0) + D sin(0) implies 0 = A + C
Aplicando $ t = 0 $:
A = -C
Como $ A = -C $:
v(0) = 0

Passo 11

Finalmente, substituindo $ A $ e $ B $ na solução geral, temos:
A
Esse é o movimento do oscilador criticamente amortecido sob a ação da força externa dada, sujeito às condições iniciais especificadas.

Resposta

O movimento do oscilador criticamente amortecido é dado por
x(t) = ( -C - ( C raizkm + D omega ) t ) e^-raizkm t + C cos(omega t) + D sin(omega t)
onde $ C $ e $ D $ são constantes definidas por
C
D
Essa expressão descreve completamente o movimento do oscilador nas condições dadas.

Exercícios relacionados