Um oscilador harmônico criticamente amortecido está sujeito a uma força . Se em este oscilador obedece as condições e , determine seu movimento.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador harmônico criticamente amortecido, que é basicamente um sistema que oscila mas, devido ao amortecimento, suas oscilações acabam morrendo rapidamente sem oscilar muito. Esse oscilador está recebendo uma força externa que é uma combinação de um cosseno e um seno com frequência , ou seja:
Além disso, no tempo inicial $ t = 0 $, a posição e a velocidade do oscilador são zero:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais que descrevem o movimento de osciladores amortecidos, e como forças externas influenciam esse movimento. Vamos passo a passo encontrar a função que descreve o movimento $ x(t) $ desse oscilador.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve um oscilador harmônico com amortecimento e sujeito a uma força externa $ F(t) $. A equação geral é:
Aqui:
$ m $ é a massa do oscilador,
$ c $ é o coeficiente de amortecimento,
$ k $ é a constante elástica da mola,
$ x(t) $ é a posição em função do tempo.
No nosso caso, como o oscilador é criticamente amortecido, sabemos que o amortecimento é exatamente o que impede qualquer oscilar mais uma vez após a perturbação inicial, ou seja, é o menor amortecimento que não permite oscilações adicionais.
Passo 3
Para um amortecimento crítico, a condição é que o coeficiente de amortecimento $ c $ seja igual a:
Então, podemos reescrever nossa equação diferencial usando essa condição:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $ m $:
Aqui, $ \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência natural não amortecida do sistema.
Passo 4
Agora, substituímos a força externa $ F(t) $ pela expressão dada na questão:
Então, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea, onde o lado direito representa as forças externas aplicadas.
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e da solução particular (devido à força externa).
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
Essa equação característica associada é:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes:
Como ambas as raízes são iguais, a solução homogênea é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular $ x_{p}(t) $ para a parte não homogênea da equação. Como a força externa é uma combinação de cosseno e seno, assumimos uma solução particular da forma:
Onde $ C $ e $ D $ são constantes a serem determinadas. Vamos derivar $ x_{p}(t) $ e substituir na equação diferencial para encontrar $ C $ e $ D $.
Primeiro, derivamos $ x_{p}(t) $:
Substituindo $ x_{p}(t) $ e suas derivadas na equação diferencial:
Passo 7
Agora, agrupamos os termos em cosseno e seno:
Termos de $ \cos(\omega t) $:
Termos de $ \sin(\omega t) $:
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas $ C $ e $ D $.
Passo 8
Vamos resolver o sistema de equações:
$ \left( -\omega^{2} + \frac{k}{m} \right) C + 2 \omega \sqrt{\frac{k}{m}} D = \frac{F_{1}}{m} $
$ -2 \omega \sqrt{\frac{k}{m}} C + \left( -\omega^{2} + \frac{k}{m} \right) D = \frac{F_{2}}{m} $
Podemos representar esse sistema em forma matricial e resolver para $ C $ e $ D $:
$$ -2 omega raizkm C + ( -omega^2 + km ) D = F2m
C
$$
Resolvendo esse sistema, encontramos:
D
-omega^2 + km & 2 omega raizkm -2 omega raizkm & -omega^2 + km C D = F1m F2m
Passo 9
Agora, juntamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral:
x(t) = (A + B t) e^-raizkm t + C cos(omega t) + D sin(omega t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes determinadas pelas condições iniciais $ x(0) = 0 $ e $ v(0) = 0 $.
Passo 10
Aplicando as condições iniciais:
$ x(0) = 0 $:
x(0) = 0
Logo, $ A = -C $.
$ v(0) = 0 $:
Derivando $ x(t) $:
0 = (A + B cdot 0) e^0 + C cos(0) + D sin(0) implies 0 = A + C
Aplicando $ t = 0 $:
A = -C
Como $ A = -C $:
v(0) = 0
Passo 11
Finalmente, substituindo $ A $ e $ B $ na solução geral, temos:
A
Esse é o movimento do oscilador criticamente amortecido sob a ação da força externa dada, sujeito às condições iniciais especificadas.
Resposta
O movimento do oscilador criticamente amortecido é dado por
x(t) = ( -C - ( C raizkm + D omega ) t ) e^-raizkm t + C cos(omega t) + D sin(omega t)
onde $ C $ e $ D $ são constantes definidas por
C
D
Essa expressão descreve completamente o movimento do oscilador nas condições dadas.