2^{2} - Utilizando a notação simplética, mostre que a transformação Q=(q-p) / \sqrt{2}, P=(q+p) / \sqrt{2} é canônica.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear em duas variáveis canônicas (q,p) definidas por
Q=\frac{q-p}{\sqrt{2}}, \quad P=\frac{q+p}{\sqrt{2}}
e pede para mostrar, usando notação simplética, que ela é canônica.
Em notação simplética, uma transformação linear Z=M\,z (onde z=(q,p)^T e Z=(Q,P)^T) é canônica se, e somente se,
M^T\,J\,M=J,
onde
J=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}
é a matriz simplética padrão.

Passo 2

Escrevemos a transformação em forma matricial Z=M\,z. Da definição
Q=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(q-p), \quad P=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(q+p)
vemos que
M=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Relembramos a matriz simplética
J=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}
e o critério de canonicidade em notação simplética:
M^T\,J\,M\stackrel{?}{=}J.

Passo 4

Calculamos passo a passo:
  1. Primeiro
J\,M =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
  1. Depois
M^T\,(J\,M) =\frac{1}{2} \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{2} \begin{pmatrix}1-1 & 1+1\\\\ -1-1 & -1+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix} =J.

Resposta

Como M^T\,J\,M=J, a transformação \bigl(q,p\bigr)\mapsto\bigl(Q,P\bigr) é canônica.

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