Duas partículas carregadas estão fixas nos eixos; a partícula 1 , com uma carga q_{1}=-2 e, está no ponto (0 ; 4,00 m); a partícula 2 , com uma carga q_{2}=+2 e está no ponto (4,00 m ; 0).
a) Coloque as partículas q_{1} e q_{2} no eixo ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ).
b) Supondo V=0 no infinito, calcule o valor de V na origem, ( 0 ; 0 ).
c) Se uma terceira partícula carregada, q_{3}=+2 e, é deslocada do infinito até a origem, determine o trabalho realizado. Suponha que tanto no infinito quanto na origem a carga não tem energia cinética.
d) Determine a energia potencial do sistema de três partículas em joules ( J ) e em eletron-volt (\mathrm{eV}).

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas e fornece estes dados:
  • (a) Colocar graficamente (descrever) as partículas q_{1} e q_{2} nos eixos x e y.
  • (b) Supondo V=0 no infinito, calcular o potencial elétrico V no ponto origem (0;0).
  • (c) Trazer uma terceira carga q_{3}=+2e do infinito até a origem (sem ganho de energia cinética) e determinar o trabalho realizado no processo.
  • (d) Determinar a energia potencial do sistema de três partículas, em joules e em electron-volt.
Dados numéricos fornecidos:
q_{1} = -2e,\quad q_{2} = +2e,\quad q_{3} = +2e
\text{posição de } q_{1}: (0;4,00\\ \mathrm{m}),\quad \text{posição de } q_{2}: (4,00\\ \mathrm{m};0)çãçã
Constantes úteis que usaremos:
e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\qquad k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8,987551792\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.

Passo 2

Resposta da parte (a): colocar as partículas nos eixos.
  • A partícula q_{1} está no eixo y no ponto (0;4,00\\ \mathrm{m}) e tem carga negativa: q_{1}=-2e.
  • A partícula q_{2} está no eixo x no ponto (4,00\\ \mathrm{m};0) e tem carga positiva: q_{2}=+2e.
(Isto é apenas descrever as posições e sinais; a figura mental é: q_{1} sobre o eixo vertical acima da origem, q_{2} sobre o eixo horizontal à direita da origem.)

Passo 3

Conceitos que precisamos para (b),(c) e (d):
  • Potencial elétrico criado por uma carga puntiforme: para uma carga q localizada a uma distância r do ponto considerado, o potencial é
V(r)=k\,\dfrac{q}{r},
onde k é a constante definida acima. Aqui V tem unidade de volts (\mathrm{V}), q em coulombs (\mathrm{C}) e r em metros (\mathrm{m}).
  • Princípio da superposição: o potencial total devido a várias cargas é a soma algébrica (simples soma) dos potenciais individuais:
V_{\text{total}}=\sum_{i} V_{i}.
  • Trabalho realizado por uma força externa ao trazer uma carga test q' do infinito até um ponto onde o potencial é V (assumindo V(\infty)=0 e sem mudança de energia cinética) é
W_{\text{ext}} = \Delta U = q'\,V,
onde \Delta U é a variação da energia potencial elétrica do sistema (energia ganha pela carga trazida).
  • Energia potencial total de um sistema de partículas puntiformes (contando cada par uma vez) é
U = k\sum_{i<j} \dfrac{q_{i}q_{j}}{r_{ij}},
onde r_{ij} é a distância entre as cargas q_{i} e q_{j}.

Passo 4

Cálculo do potencial no ponto origem (parte b) aplicando as fórmulas acima:
  • Distâncias do ponto origem às cargas dadas:
r_{1}=\text{distância de }(0,0)\text{ a }(0,4,00\\ \mathrm{m})=4,00\\ \mathrm{m},â
r_{2}=\text{distância de }(0,0)\text{ a }(4,00\\ \mathrm{m},0)=4,00\\ \mathrm{m}.â
  • Valores das cargas em coulombs:
q_{1}=-2e=-2\cdot 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}=-3,204353268\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
q_{2}=+2e=+3,204353268\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Potenciais individuais no ponto origem:
V_{1}=k\,\dfrac{q_{1}}{r_{1}}=k\,\dfrac{-2e}{4,00}=k\left(-\dfrac{e}{2}\right),
V_{2}=k\,\dfrac{q_{2}}{r_{2}}=k\,\dfrac{+2e}{4,00}=k\left(+\dfrac{e}{2}\right).
  • Somando (superposição):
V(0,0)=V_{1}+V_{2}=k\left(-\dfrac{e}{2}\right)+k\left(+\dfrac{e}{2}\right)=0.
Portanto o potencial no ponto origem é exatamente zero (a anulação é exata por simetria das magnitudes e distâncias).

Passo 5

Cálculo do trabalho ao trazer q_{3} do infinito até a origem (parte c).
  • Usamos a relação W_{\text{ext}}=\Delta U=q_{3}V(\text{origem}), com V(\infty)=0.
  • Já obtivemos V(\text{origem})=0. Como q_{3}=+2e,
W_{\text{ext}} = q_{3}\,V(\text{origem}) = (+2e)\cdot 0 = 0\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: não é necessário trabalho adicional do agente externo para trazer q_{3} do infinito até a origem, pois as contribuições de potencial das cargas q_{1} e q_{2} se cancelam no ponto. (O trabalho realizado pelo campo elétrico também é zero neste trajeto entre infinito e origem, com as hipóteses dadas.)

Passo 6

Cálculo da energia potencial total do sistema de três partículas (parte d).
  • Fórmula para a energia potencial total:
U = k\left(\dfrac{q_{1}q_{2}}{r_{12}} + \dfrac{q_{1}q_{3}}{r_{13}} + \dfrac{q_{2}q_{3}}{r_{23}}\right).
  • Distâncias entre pares:
r_{12}=\text{distância entre }(0;4,00)\text{ e }(4,00;0)=\sqrt{(4,00-0)^{2}+(0-4,00)^{2}}=\sqrt{16+16}=4,00\sqrt{2}\\ \mathrm{m},â
r_{13}=\text{distância entre }(0;4,00)\text{ e }(0;0)=4,00\\ \mathrm{m},â
r_{23}=\text{distância entre }(4,00;0)\text{ e }(0;0)=4,00\\ \mathrm{m}.â
  • Produtos de cargas (lembrando q_{1}=-2e,\\ q_{2}=+2e,\\ q_{3}=+2e):
q_{1}q_{2}=(-2e)(+2e)=-4e^{2},
q_{1}q_{3}=(-2e)(+2e)=-4e^{2},
q_{2}q_{3}=(+2e)(+2e)=+4e^{2}.
  • Substituindo em U:
U = k\left(\dfrac{-4e^{2}}{4\sqrt{2}} + \dfrac{-4e^{2}}{4,00} + \dfrac{+4e^{2}}{4,00}\right).
Note que os dois últimos termos se cancelam:
\dfrac{-4e^{2}}{4,00} + \dfrac{+4e^{2}}{4,00} = 0.
Logo sobra apenas o primeiro termo:
U = k\left(\dfrac{-4e^{2}}{4\sqrt{2}}\right) = -\,k\,\dfrac{e^{2}}{\sqrt{2}}.
  • Agora calculamos numericamente. Primeiro o valor de k e^{2}:
k\,e^{2}\approx (8,987551792\times10^{9})\times(1,602176634\times10^{-19})^{2}.
(1,602176634\times10^{-19})^{2}=2,566969966\times10^{-38}.
k\,e^{2}\approx 8,987551792\times10^{9}\times 2,566969966\times10^{-38}\approx 2,307078\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Dividindo por \sqrt{2}:
U = -\,\dfrac{k e^{2}}{\sqrt{2}}\approx -\,\dfrac{2,307078\times10^{-28}}{1,41421356}\\ \mathrm{J}\approx -1,631003\times10^{-28}\\ \mathrm{J}.
  • Converter para electron-volt usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
U\\ (\mathrm{eV}) = \dfrac{U\\ (\mathrm{J})}{1,602176634\times10^{-19}}\approx \dfrac{-1,631003\times10^{-28}}{1,602176634\times10^{-19}}\approx -1,0177\times10^{-9}\\ \mathrm{eV}.

Resposta

(a) q_{1}=-2e em (0;4,00\\ \mathrm{m}) (eixo y), q_{2}=+2e em (4,00\\ \mathrm{m};0) (eixo x).
(b) V(0,0)=0\\ \mathrm{V}.
(c) Trabalho para trazer q_{3}=+2e do infinito à origem: W_{\text{ext}}=0\\ \mathrm{J}.
(d) Energia potencial total do sistema: U\approx -1,631\times10^{-28}\\ \mathrm{J}\approx -1,02\times10^{-9}\\ \mathrm{eV}.

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