Exercícios para serem resolvidos após a dedução de capacitores em série e em paralelo.
Dois capacitores de placas paralelas, ambos com uma capacitância de 6,0 \mu F, são ligados em paralelo a uma bateria de 10 V . Em seguida, a distância entre as placas é reduzida à metade. Quando essa modificação acontece, a) qual é o aumento da carga total armazenada nos capacitores? b) Qual seria este aumento de carga, se os capacitores estivessem ligados inicialmente em série?

Passo 1

O enunciado dá dois capacitores de placas paralelas, cada um com capacitância \,6,0\\ \mu\mathrm{F}\,, ligados a uma bateria de 10\\ \mathrm{V}. Depois reduz-se a distância entre as placas à metade (isto é, a separação d passa para d/2). São feitas duas perguntas separadas:
a) Quando os capacitores estão ligados em paralelo, qual é o aumento da carga total armazenada após reduzir a distância?
b) Se os capacitores tivessem sido ligados inicialmente em série, qual seria o aumento da carga total após a mesma redução da distância?
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Capacitância inicial de cada capacitor: \,C=6,0\\ \mu\mathrm{F}\,.
  • Tensão da bateria: \,V=10\\ \mathrm{V}\,.
  • A separação entre placas é reduzida à metade, logo cada capacitância muda segundo a relação entre C e d (ver passo seguinte).
  • Os casos a analisar: ligação em paralelo (a) e em série (b).

Passo 2

Vamos lembrar duas fórmulas-chave e o efeito de reduzir a distância entre as placas:
  • Capacitância de um capacitor de placas paralelas: C=\varepsilon \frac{A}{d},
onde \varepsilon é a permissividade do meio, A é a área das placas e d é a separação. Isso mostra que C é inversamente proporcional a d. Se d é reduzido à metade ( d\to d/2), então C fica dobrada ( C\to 2C).
  • Carga em um capacitor conectado a uma bateria ideal: Q=C\,V,
onde \,Q é a carga armazenada, C a capacitância e V a diferença de potencial aplicada (a bateria mantém V constante enquanto estiver conectada).
Essas duas ideias bastam para tratar o caso paralelo (a) e o caso série (b), com atenção às fórmulas de associação de capacitores.

Passo 3

Caso (a) — capacitores em paralelo:
  • Regra de associação em paralelo: a capacitância equivalente é soma direta: C_{\text{eq}}=C_1+C_2.
Como C_1=C_2=C, temos inicialmente C_{\text{eq, inicial}}=C+C=2C.
Com C=6,0\\ \mu\mathrm{F}, isso dá C_{\text{eq, inicial}}=2\cdot 6,0\\ \mu\mathrm{F}=12,0\\ \mu\mathrm{F}.
  • Carga total inicial armazenada (bateria mantém V fixo): Q_{\text{tot, inicial}}=C_{\text{eq, inicial}}\,V=12,0\\ \mu\mathrm{F}\cdot 10\\ \mathrm{V}.
Calculando (lembrando que \mu\mathrm{F}\cdot\mathrm{V}=\mu\mathrm{C}): Q_{\text{tot, inicial}}=120\\ \mu\mathrm{C}.
  • Após reduzir d à metade, cada capacitância dobra: C_{\text{novo}}=2C=2\cdot 6,0\\ \mu\mathrm{F}=12,0\\ \mu\mathrm{F}.
Então a nova capacitância equivalente em paralelo é C_{\text{eq, novo}}=C_{\text{novo}}+C_{\text{novo}}=2\cdot 12,0\\ \mu\mathrm{F}=24,0\\ \mu\mathrm{F}.
  • Nova carga total: Q_{\text{tot, novo}}=C_{\text{eq, novo}}\,V=24,0\\ \mu\mathrm{F}\cdot 10\\ \mathrm{V}=240\\ \mu\mathrm{C}.
  • Aumento da carga total no caso paralelo: \Delta Q_{\text{paralelo}}=Q_{\text{tot, novo}}-Q_{\text{tot, inicial}}=240\\ \mu\mathrm{C}-120\\ \mu\mathrm{C}=120\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 4

Explicando por que isso foi tão direto: em paralelo a tensão em cada capacitor é igual à da bateria ( V), então dobrando C de cada capacitor a carga em cada um dobra, e portanto a carga total dobra também. Como a capacitância equivalente dobrou de 12,0\\ \mu\mathrm{F} para 24,0\\ \mu\mathrm{F}, a carga total dobrou de 120\\ \mu\mathrm{C} para 240\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 5

Caso (b) — capacitores em série:
  • Regra de associação em série para duas capacitâncias: \frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.
Para C_1=C_2=C isso dá \frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C}=\frac{2}{C}\quad\Rightarrow\quad C_{\text{eq}}=\frac{C}{2}.
  • Capacitância equivalente inicial com C=6,0\\ \mu\mathrm{F}: C_{\text{eq, inicial}}=\frac{6,0\\ \mu\mathrm{F}}{2}=3,0\\ \mu\mathrm{F}.
  • Carga inicial (a série está ligada à bateria de 10\\ \mathrm{V}; a carga em cada capacitor em série tem o mesmo valor Q igual à carga da combinação): Q_{\text{inicial}}=C_{\text{eq, inicial}}\,V=3,0\\ \mu\mathrm{F}\cdot 10\\ \mathrm{V}=30\\ \mu\mathrm{C}.
  • Após reduzir d à metade, cada capacitância dobra: C_{\text{novo}}=12,0\\ \mu\mathrm{F}. A nova capacitância equivalente em série é C_{\text{eq, novo}}=\frac{C_{\text{novo}}}{2}=\frac{12,0\\ \mu\mathrm{F}}{2}=6,0\\ \mu\mathrm{F}.
  • Nova carga da combinação: Q_{\text{novo}}=C_{\text{eq, novo}}\,V=6,0\\ \mu\mathrm{F}\cdot 10\\ \mathrm{V}=60\\ \mu\mathrm{C}.
  • Aumento da carga total (no caso série, “carga total armazenada” pode ser entendida como a carga na combinação — todos os capacitores em série têm a mesma magnitude de carga): \Delta Q_{\text{série}}=Q_{\text{novo}}-Q_{\text{inicial}}=60\\ \mu\mathrm{C}-30\\ \mu\mathrm{C}=30\\ \mu\mathrm{C}.é

Passo 6

Breve comparação e intuição final (pra te animar): em paralelo a carga total é a soma das cargas individuais e, como cada capacitor teve sua C dobrada mantendo V fixo, a carga total dobrou — aumento grande de 120\\ \mu\mathrm{C}. Em série, a capacitância equivalente também dobrou (de 3,0 para 6,0\\ \mu\mathrm{F}), mas como a equivalente inicial era menor, o aumento absoluto da carga foi menor: 30\\ \mu\mathrm{C}.

Resposta

a) \Delta Q_{\text{paralelo}}=120\\ \mu\mathrm{C}
b) \Delta Q_{\text{série}}=30\\ \mu\mathrm{C}é

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