Exercícios para serem resolvidos após a dedução de capacitores em série e em paralelo.
Dois capacitores de placas paralelas, ambos com uma capacitância de
, são ligados em paralelo a uma bateria de 10 V . Em seguida, a distância entre as placas é reduzida à metade. Quando essa modificação acontece, a) qual é o aumento da carga total armazenada nos capacitores? b) Qual seria este aumento de carga, se os capacitores estivessem ligados inicialmente em série?
Dois capacitores de placas paralelas, ambos com uma capacitância de
Passo 1
O enunciado dá dois capacitores de placas paralelas, cada um com capacitância
, ligados a uma bateria de
. Depois reduz-se a distância entre as placas à metade (isto é, a separação
passa para
). São feitas duas perguntas separadas:
a) Quando os capacitores estão ligados em paralelo, qual é o aumento da carga total armazenada após reduzir a distância?
b) Se os capacitores tivessem sido ligados inicialmente em série, qual seria o aumento da carga total após a mesma redução da distância?
a) Quando os capacitores estão ligados em paralelo, qual é o aumento da carga total armazenada após reduzir a distância?
b) Se os capacitores tivessem sido ligados inicialmente em série, qual seria o aumento da carga total após a mesma redução da distância?
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Capacitância inicial de cada capacitor:
. - Tensão da bateria:
. - A separação entre placas é reduzida à metade, logo cada capacitância muda segundo a relação entre
e (ver passo seguinte). - Os casos a analisar: ligação em paralelo (a) e em série (b).
Passo 2
Vamos lembrar duas fórmulas-chave e o efeito de reduzir a distância entre as placas:
- Capacitância de um capacitor de placas paralelas:
onde
é a permissividade do meio,
é a área das placas e
é a separação. Isso mostra que
é inversamente proporcional a
. Se
é reduzido à metade (
), então
fica dobrada (
).
- Carga em um capacitor conectado a uma bateria ideal:
onde
é a carga armazenada,
a capacitância e
a diferença de potencial aplicada (a bateria mantém
constante enquanto estiver conectada).
Essas duas ideias bastam para tratar o caso paralelo (a) e o caso série (b), com atenção às fórmulas de associação de capacitores.
Passo 3
Caso (a) — capacitores em paralelo:
- Regra de associação em paralelo: a capacitância equivalente é soma direta:
Como
, temos inicialmente
Com
, isso dá
- Carga total inicial armazenada (bateria mantém
fixo):
Calculando (lembrando que
):
- Após reduzir
à metade, cada capacitância dobra:
Então a nova capacitância equivalente em paralelo é
- Nova carga total:
- Aumento da carga total no caso paralelo:
Passo 4
Explicando por que isso foi tão direto: em paralelo a tensão em cada capacitor é igual à da bateria (
), então dobrando
de cada capacitor a carga em cada um dobra, e portanto a carga total dobra também. Como a capacitância equivalente dobrou de
para
, a carga total dobrou de
para
.
Passo 5
Caso (b) — capacitores em série:
- Regra de associação em série para duas capacitâncias:
Para
isso dá
- Capacitância equivalente inicial com
: - Carga inicial (a série está ligada à bateria de
; a carga em cada capacitor em série tem o mesmo valor igual à carga da combinação): - Após reduzir
à metade, cada capacitância dobra: . A nova capacitância equivalente em série é - Nova carga da combinação:
- Aumento da carga total (no caso série, “carga total armazenada” pode ser entendida como a carga na combinação — todos os capacitores em série têm a mesma magnitude de carga):
Passo 6
Breve comparação e intuição final (pra te animar): em paralelo a carga total é a soma das cargas individuais e, como cada capacitor teve sua
dobrada mantendo
fixo, a carga total dobrou — aumento grande de
. Em série, a capacitância equivalente também dobrou (de
para
), mas como a equivalente inicial era menor, o aumento absoluto da carga foi menor:
.
Resposta
a)
b)
b)