Duas partículas descrevem movimentos unidimensionais de acordo com as equações:
& xA(t)=5-4633 t+3113 t^2 & xB(t)=3-9913 t+1345 t^2
Em que instante de tempo as duas partículas se encontram e em que posição isto ocorre?

Passo 1

O enunciado dá as posições de duas partículas em movimento unidimensional:
Temos
xA(t)=5-4633t+3113t^2
e
xB(t)=3-9913t+1345t^2
A tarefa é achar os instantes em que elas têm a mesma posição, ou seja, resolver a igualdade de duas funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro igualamos as duas expressões:
5-4633t+3113t^2 =3-9913t+1345t^2
Passamos tudo para um lado para obter uma equação do tipo at^2+bt+c=0.

Passo 3

Agora calculamos os coeficientes de t^2, t e o termo constante:
Coeficiente de t^2:
3113-1345=1226585
Coeficiente de t:
-4633+9913=2669429
Termo constante:
5-3=2
Logo a equação é
1226585t^2+2669429t+2=0 .

Passo 4

Para resolver sem complicar frações, multiplicamos ambos os lados pelo mínimo múltiplo comum 6435, que elimina os denominadores, obtendo:
13486,t^2+40035,t+12870=0
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara:
t=-40035pmraiz40035^2-4cdot13486cdot128702cdot13486 .

Passo 5

Calculando o discriminante:
De
E a raiz quadrada:
raizDe
Assim as raízes são
t1approx-40035+30142,0326972approx-0,3665e t2approx-40035-30142,0326972approx-2,6016 .

Passo 6

Para cada instante, calculamos a posição comum usando, por exemplo, xA(t):
Para t1=-0,3665:
xapprox5-4633(-0,3665)+3113(-0,3665)^2approx5,83
Para t2=-2,6016:
xapprox5-4633(-2,6016)+3113(-2,6016)^2approx24,76

Resposta

As partículas se encontram em dois instantes:
t1approx-0,3665 s, na posição xapprox5,83
t2approx-2,6016 s, na posição xapprox24,76

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