A posição da partícula A é
. No instante em que A passa pela origem, um segundo móvel, B , que está a uma distância
à frente do primeiro, inicia o seu movimento segundo a expressão
. Determine a distância mínima
para que o móvel A não consiga ultrapassar o móvel B.
Passo 1
O enunciado dá as posições de dois móveis em MRUV e pede a distância mínima inicial para que A nunca ultrapasse B. O conteúdo é cinemática escalar com movimentação relativa. Vamos precisar: (i) achar o instante em que A passa pela origem; (ii) calcular a velocidade de A nesse instante; (iii) escrever o movimento relativo logo após B iniciar; (iv) impor que a separação seja sempre não negativa e achar o máximo da função que define essa separação.
Passo 2
Para achar o instante t₀ em que A passa pela origem, resolvemos a equação
Trata‐se de uma equação do segundo grau. Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos
Como o discriminante fica negativo, percebemos que há um sinal trocado no enunciado original. Assumindo a forma fisicamente coerente
resolvemos
Passo 3
Derivando x_A(t), a velocidade de A é v_A(t)=6+4t. No instante t_0 temos
Esse será o coeficiente linear do movimento de A logo após B iniciar.
Passo 4
Definimos τ = tempo contado a partir do instante em que B parte (τ=0 em t=t₀). Para τ≥0, as posições medidas desde a origem são
A separação B–A é
Queremos Δx(τ)≥0 ∀τ≥0.
Passo 5
Para garantir Δx(τ)≥0, basta ter
A função f(τ) atinge máximo quando f’(τ)=0, isto é
Passo 6
Substituindo τ^* em f(τ), obtemos
Logo, a distância mínima para que A nunca ultrapasse B é
Passo 7
final_answer
Resposta
d_{min} = \tfrac{19}{3}