A posição da partícula A é xA(t)=5+6 t+2 t^2. No instante em que A passa pela origem, um segundo móvel, B , que está a uma distância d à frente do primeiro, inicia o seu movimento segundo a expressão xB(t)=d+5 t^2. Determine a distância mínima d para que o móvel A não consiga ultrapassar o móvel B.

Passo 1

O enunciado dá as posições de dois móveis em MRUV e pede a distância mínima inicial para que A nunca ultrapasse B. O conteúdo é cinemática escalar com movimentação relativa. Vamos precisar: (i) achar o instante em que A passa pela origem; (ii) calcular a velocidade de A nesse instante; (iii) escrever o movimento relativo logo após B iniciar; (iv) impor que a separação seja sempre não negativa e achar o máximo da função que define essa separação.

Passo 2

Para achar o instante t₀ em que A passa pela origem, resolvemos a equação
5 + 6t + 2t^2 = 0
Trata‐se de uma equação do segundo grau. Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos
t0 = -6 + raiz6^2 - 4cdot 2cdot 52cdot 2 = -6 + raiz36 - 404
Como o discriminante fica negativo, percebemos que há um sinal trocado no enunciado original. Assumindo a forma fisicamente coerente
xA(t)= -5 + 6t + 2t^2
resolvemos
-5 + 6t + 2t^2 = 0 Rightarrow t0 = -6 + raiz36 + 404 = -6 + raiz764 = -3 + raiz192

Passo 3

Derivando x_A(t), a velocidade de A é v_A(t)=6+4t. No instante t_0 temos
vA0 = vA(t0) = 6 + 4cdot-3 + raiz192 = 2raiz19
Esse será o coeficiente linear do movimento de A logo após B iniciar.

Passo 4

Definimos τ = tempo contado a partir do instante em que B parte (τ=0 em t=t₀). Para τ≥0, as posições medidas desde a origem são
xA = vA0,τ + tfrac12aA,τ^2 = 2raiz19,τ + 2,τ^2,
xB = d + tfrac12aB,τ^2 = d + 5,τ^2
A separação B–A é
Δx(τ) = xB - xA = d - l(2raiz19,τ + 2τ^2r) + 5τ^2 = d - 2raiz19,τ + 3τ^2
Queremos Δx(τ)≥0 ∀τ≥0.

Passo 5

Para garantir Δx(τ)≥0, basta ter
d >= f(τ) := 2raiz19,τ - 3τ^2
A função f(τ) atinge máximo quando f’(τ)=0, isto é
2raiz19 - 6τ = 0 Rightarrow τ^* = 2raiz196 = raiz193

Passo 6

Substituindo τ^* em f(τ), obtemos
f(τ^*) = 2raiz19,raiz193 - 3l(raiz193r)^2 = 2cdot193 - 3199 = 383 - 193 = 193
Logo, a distância mínima para que A nunca ultrapasse B é

Passo 7

final_answer

Resposta

d_{min} = \tfrac{19}{3}

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