Duas partículas A e B, eletrizadas com cargas de mesmo sinal e respectivamente iguais a QA e QB, tal que QA = 9 QB, são fixadas no vácuo a 1,0 m de distância uma da outra. Determine o local, no segmento que une as cargas A e B, onde deverá ser colocada uma terceira carga C, para que ela permaneça em repouso.
R: 0,75 m

Passo 1

Beleza, temos duas partículas A e B, ambas com cargas positivas e afastadas 1,0 m uma da outra. A carga de A vale e a de B vale , com a relação . Queremos achar onde, no pedacinho de reta que liga A e B, a terceira carga C ficaria em repouso (isto é, sem receber força resultante). O conteúdo usado aqui é eletrostática: a Lei de Coulomb e condições de equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, marcamos um sistema de coordenadas simples: coloque A na posição e B em m.
Se a carga C ficar a uma distância de A (logo a de B), as forças que A e B fazem em C são repulsivas (já que todas têm mesmo sinal) e apontam em sentidos opostos. Para C ficar em repouso, os módulos dessas forças devem ser iguais.

Passo 3

Escrevendo a Lei de Coulomb para cada força (em módulo):
FA ;=; k,QA,QCx^2, FB ;=; k,QB,QC(1 - x)^2
Aqui, k,QA,QCx^2 ;=; k,QB,QC(1 - x)^2 é a constante eletrostática e QAx^2 = QB(1 - x)^2 a carga teste. Como queremos 9,QBx^2 = QB(1 - x)^2 Longrightarrow 9x^2 = 1(1 - x)^2 em módulo, igualamos:
Podemos cancelar e (não zero) dos dois lados, sobrando
E pela relação , fica

Passo 4

Agora é só resolver isso:
9,(1 - x)^2 = x^2 Longrightarrow (1 - x)^2 = x^29
Tirando raiz quadrada (e escolhendo o sinal positivo, pois 1 - x = x3 Longrightarrow 1 = x + x3 = 4x3 Longrightarrow x = 34 = 0,75 m e são ambos positivos dentro do segmento):
A outra possibilidade da raiz dar “ ” leva a , fora do trecho entre A e B, então a descartamos.

Resposta

A carga C deve ficar a 0,75 m de A (e, consequentemente, 0,25 m de B) para permanecer em repouso.

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