Duas partículas estão se movimentando ao longo do eixo X. A posição referente à primeira partícula pode ser expressa pela equação x=5,5 \cdot t^{2}+1,8 \cdot t. Sabe-se que a aceleração da segunda partícula é a=-7,6 \cdot t. No instante \mathrm{t}=0 \mathrm{~s}, a velocidade da partícula 2 é 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual a velocidade das partículas no instante que tem a mesma velocidade. Os termos x , a e t estão no SI.

Passo 1

O enunciado diz que a posição da partícula 1 ao longo do eixo x é
x_1(t)=5,5\,t^2 + 1,8\,t
e que a aceleração da partícula 2 é
a_2(t)=-7,6\,t,
com velocidade inicial v_2(0)=15,m/s. Precisamos encontrar o instante em que as duas velocidades são iguais e, nesse instante, calcular o valor comum de ambas as velocidades. Vamos usar derivada para obter v_1(t), integração para obter v_2(t) e depois igualar as duas funções.

Passo 2

Para a partícula 1, a velocidade é a derivada de x_1(t). Logo,
v_1(t)=\frac{d}{dt}\bigl(5,5\,t^2 + 1,8\,t\bigr) =11,0\,t + 1,8.

Passo 3

Para a partícula 2, integramos a aceleração para obter a velocidade, usando v_2(0)=15:
v_2(t)=\int a_2(t)\,dt=\int(-7,6\,t)\,dt=-3,8\,t^2 + C.
Como v_2(0)=C=15, fica
v_2(t)=-3,8\,t^2 + 15.

Passo 4

Igualamos v_1(t) e v_2(t):
11,0\,t + 1,8 = -3,8\,t^2 + 15
Reorganizando para forma padrão:
3,8\,t^2 + 11,0\,t - 13,2 = 0.

Passo 5

Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = (11,0)^2 - 4\cdot3,8\cdot(-13,2) =121 + 200,64 = 321,64.
Assim,
t = \frac{-11,0 \pm \sqrt{321,64}}{2\cdot3,8} = \frac{-11,0 \pm 17,93}{7,6}.
As soluções são t\approx0,912,s e t\approx-3,80,s. Como tempo não pode ser negativo, adoto
t \approx 0,912\text{ s}.

Passo 6

Calculamos a velocidade comum em t=0,912,s, por exemplo usando v_1(t):
v_1(0,912)=11,0\cdot0,912 + 1,8 \approx 11,83\text{ m/s}.

Resposta

A velocidade das partículas no instante em que elas têm a mesma velocidade é aproximadamente 11,8,m/s.

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