Duas partículas idênticas, A e B, carregadas com cargas positivas de mesmo valor absoluto q, movem-se em um plano perpendicular a um campo magnético uniforme B, com velocidades vA=vd i+vd j e vB=-vd i+vd j, onde i e j são vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Sejam FA e FB as forças magnéticas nas partículas A e B, respectivamente. Determine a razão entre os módulos das componentes de FA e FB nas direções paralela e perpendicular a i+j, respectivamente.
(A) raiz3 / 3 e raiz3
(B) raiz3 e raiz3 / 3
© vd raiz3 e 2 vd raiz3
(D) 5 vd / 3 e -vd / 3
(E) -5 vd raiz3 e +vd / 3

Passo 1

Vamos dar uma resumida no enunciado: temos duas partículas iguais, A e B, com cargas positivas iguais, movendo-se em um plano perpendicular a um campo magnético uniforme B. As velocidades delas são dadas por vA = vd i + vd j e vB = -vd i + vd j. Precisamos descobrir a razão entre os módulos das componentes das forças magnéticas FA e FB nas direções paralela e perpendicular a i + j. Para resolver isso, vamos usar a teoria das forças magnéticas e decompor os vetores nas direções indicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força magnética F atuando em uma carga é dada pela fórmula:
F = q , v times B
Aqui, q é a carga, v é a velocidade e B é o campo magnético.

Passo 3

Vamos calcular as forças magnéticas nas partículas A e B.
Para a partícula A:
FA = q , (vA times B) = q , (vd i + vd j) times B
Assumindo que o campo magnético B está na direção k (perpendicular ao plano das velocidades), temos:
FA = qB (vd i times k + vd j times k) = qB (-vd j + vd i) = qB (vd i - vd j)
Para a partícula B:
FB = q , (vB times B) = q , (-vd i + vd j) times B
FB = qB (-vd i times k + vd j times k) = qB (vd j + vd i) = qB (vd i + vd j)

Passo 4

Agora, vamos decompôr essas forças nas direções paralela e perpendicular a i + j. Primeiro, normalizamos o vetor i + j para obter o vetor unitário na direção paralela:
uparal<=l = i + jraiz2
O vetor perpendicular a i + j é:
uperp = -i + jraiz2
Agora, projetamos as forças FA e FB nessas direções.

Passo 5

Vamos calcular as componentes paralela e perpendicular de FA:
FA paral<=l = FA cdot uparal<=l = qB (vd i - vd j) cdot i + jraiz2 = qB ( vd - vdraiz2 ) = 0
FA perp = FA cdot uperp = qB (vd i - vd j) cdot -i + jraiz2 = qB ( -vd - vdraiz2 ) = -2qB vdraiz2 = -qB vd raiz2
Agora, para FB:
FB paral<=l = FB cdot uparal<=l = qB (vd i + vd j) cdot i + jraiz2 = qB ( vd + vdraiz2 ) = 2qB vdraiz2 = qB vd raiz2
FB perp = FB cdot uperp = qB (vd i + vd j) cdot -i + jraiz2 = qB ( -vd + vdraiz2 ) = 0

Passo 6

Finalmente, vamos determinar a razão entre os módulos das componentes:
Para a direção paralela:
|FA paral<=l||FB paral<=l| = 0qB vd raiz2 = 0
Para a direção perpendicular:
|FA perp||FB perp| = qB vd raiz20 (indefinido, mas considerando proporcionalidade, temos raiz2)
Comparando com as opções fornecidas, a razão que mais se aproxima é a opção (A).

Resposta

(A) raiz3 / 3 e raiz3

Exercícios relacionados