A temperatura
, colocam em um balão de vidro
de mercúrio. Para
, colocam no balão
de mercúrio. Em ambos os casos, considerar a temperatura do mercúrio igual à temperatura do balão. Encontrar, por meio desses dados, o coeficiente de dilatação linear do vidro
, sabendo que o coeficiente de expansão volumétrica do mercúrio é
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão de vidro que contém mercúrio a duas temperaturas diferentes: 0°C e 20°C. Sabemos a massa de mercúrio em cada situação e queremos encontrar o coeficiente de dilatação linear do vidro (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como materiais se expandem quando a temperatura muda, tanto linearmente quanto volumetricamente. Vamos usar fórmulas de dilatação térmica para relacionar a mudança de temperatura com a mudança de volume e massa.
Passo 2
Vamos considerar que a dilatação do vidro e a expansão do mercúrio afetam o volume disponível no balão. A dilatação linear do vidro
está relacionada à dilatação volumétrica, que é aproximadamente três vezes o coeficiente linear. Portanto, a expansão volumétrica do vidro será
.
Já o mercúrio tem um coeficiente de expansão volumétrica (
) dado como
. Isso significa que, para cada grau Celsius que a temperatura aumenta, o volume do mercúrio aumenta proporcionalmente a
.
Passo 3
Vamos relacionar as massas e volumes nas duas temperaturas. A massa de mercúrio é dada por:
Onde
é a massa,
é a densidade e
é o volume. Se a temperatura aumenta, o volume do balão aumenta devido à dilatação do vidro, e o volume do mercúrio também aumenta devido à sua própria expansão.
Podemos relacionar as massas nas duas temperaturas usando:
Onde:
-
(massa inicial) -
(massa final) -
Passo 4
Substituindo os valores na equação:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar o termo com
:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 6
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Resposta
O coeficiente de dilatação linear do vidro é
.