Duas partículas com a mesma carga positiva q são mantidas fixas no eixo y, uma em y=d e a outra em y=-d. (a) Escreva uma expressão para o módulo E do campo elétrico em pontos do eixo x dados por x=alpha d. (b) Plote E em função de alpha no intervalo 0. Determine, a partir do gráfico, os valores de alpha para os quais © o valor de E é máximo e (d) o valor de E é metade do valor máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas com a mesma carga positiva $ q $ que estão fixas em posições simétricas no eixo $ y $, uma em $ y = d $ e a outra em $ y = -d $. A gente precisa encontrar o módulo do campo elétrico $ E $ em pontos do eixo $ x $ que estão a uma distância $ x = \alpha d $ dessas partículas. A matéria aqui envolve campo elétrico e superposição de campos elétricos. Vamos precisar usar a Lei de Coulomb para calcular o campo elétrico gerado por cada carga e depois somá-los vetorialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual. A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico $ \vec{E} $ devido a uma carga $ q $ em um ponto a uma distância $ r $ é dado por:
E
onde:
  • $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $),
  • $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Como temos duas cargas, vamos calcular o campo elétrico devido a cada uma delas e depois somar os vetores resultantes.

Passo 3

Vamos considerar um ponto no eixo $ x $ a uma distância $ x = \alpha d $ das cargas. A distância entre cada carga e esse ponto é dada pelo teorema de Pitágoras:
x
O campo elétrico devido a cada carga terá uma componente na direção $ x $ e outra na direção $ y $. Porém, como as cargas estão simetricamente posicionadas em $ y = d $ e $ y = -d x = alpha d y r = raizx^2 + d^2 = d raizalpha^2 + 1 ó x $).

Passo 4

Agora, vamos calcular a componente horizontal do campo elétrico de uma carga:
Ex = k cdot qr^2 cdot cos(theta)
onde $ \cos(\theta) = \frac{x}{r} = \frac{\alpha d}{d \sqrt{\alpha^2 + 1}} = \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + 1}} $.
Substituindo $ r = d \sqrt{\alpha^2 + 1} $:
cos(theta) = xr = alpha dd raizalpha^2 + 1 = alpharaizalpha^2 + 1
Como temos duas cargas, o campo total $ E $ é o dobro desse valor:
r = d raizalpha^2 + 1

Resposta

A expressão para o módulo do campo elétrico $ E $ em pontos do eixo $ x $ a uma distância $ x = \alpha d $ das cargas é:
E

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