Seção 10.35 Um cilindro sólido uniforme de massa
e raio
repousa em uma laje horizontal. Um fio é enrolado em torno de um cilindro sólido uniforme de massa
e raio
. O fio passa por uma polia em forma de disco de massa
e raio
(Figura P10.35). Outro bloco de massa
é suspenso na extremidade livre do fio. O fio não escorrega nem na polia nem no cilindro e não há atrito entre o cilindro e a laje. Quando o sistema é liberado do repouso, qual é a aceleração do bloco?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema com cilindros, uma polia e um bloco pendurado. O conteúdo envolve Física, mais especificamente Dinâmica Rotacional e Leis de Newton. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de torque, momento de inércia e as equações de movimento para corpos em rotação e translação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças envolvidas no sistema. Temos o bloco de massa $ M $ que está sendo puxado pela tensão do fio $ T $. Esse fio está enrolado em um dos cilindros e passa por uma polia que também tem massa e raio específicos. Como o fio não desliza, a aceleração do bloco está relacionada à aceleração angular dos cilindros e da polia.
Passo 3
Precisamos considerar o momento de inércia de cada objeto que está girando. O momento de inércia $ I $ de um cilindro sólido é dado por:
Para a polia, que também é um disco sólido com massa $ M $ e raio $ R $, o momento de inércia é o mesmo:
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton para rotação, temos que o torque $ \tau $ é igual ao momento de inércia $ I $ multiplicado pela aceleração angular $ \alpha $:
O torque causado pela tensão no fio é $ \tau = T R $, então para a polia:
Simplificando:
Passo 5
A aceleração linear $ a $ do bloco está relacionada à aceleração angular $ \alpha $ pela relação:
Substituindo $ \alpha $ na equação anterior:
Passo 6
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para o bloco:
Substituindo $ T $ da etapa anterior:
Simplificando:
Resposta
A aceleração do bloco é: