Seção 10.35 Um cilindro sólido uniforme de massa M e raio 2 R repousa em uma laje horizontal. Um fio é enrolado em torno de um cilindro sólido uniforme de massa M e raio R. O fio passa por uma polia em forma de disco de massa M e raio R (Figura P10.35). Outro bloco de massa M é suspenso na extremidade livre do fio. O fio não escorrega nem na polia nem no cilindro e não há atrito entre o cilindro e a laje. Quando o sistema é liberado do repouso, qual é a aceleração do bloco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema com cilindros, uma polia e um bloco pendurado. O conteúdo envolve Física, mais especificamente Dinâmica Rotacional e Leis de Newton. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de torque, momento de inércia e as equações de movimento para corpos em rotação e translação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças envolvidas no sistema. Temos o bloco de massa $ M $ que está sendo puxado pela tensão do fio $ T $. Esse fio está enrolado em um dos cilindros e passa por uma polia que também tem massa e raio específicos. Como o fio não desliza, a aceleração do bloco está relacionada à aceleração angular dos cilindros e da polia.

Passo 3

Precisamos considerar o momento de inércia de cada objeto que está girando. O momento de inércia $ I $ de um cilindro sólido é dado por:
I
Para a polia, que também é um disco sólido com massa $ M $ e raio $ R $, o momento de inércia é o mesmo:
I = 12 M R^2

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para rotação, temos que o torque $ \tau $ é igual ao momento de inércia $ I $ multiplicado pela aceleração angular $ \alpha $:
tau
O torque causado pela tensão no fio é $ \tau = T R $, então para a polia:
I
Simplificando:
alpha

Passo 5

A aceleração linear $ a $ do bloco está relacionada à aceleração angular $ \alpha $ pela relação:
a
Substituindo $ \alpha $ na equação anterior:
alpha

Passo 6

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para o bloco:
M g - T = M a
Substituindo $ T $ da etapa anterior:
T
Simplificando:
M g - 12 M a = M a
g - 12 a = a

Resposta

A aceleração do bloco é:
a = 23 g

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