Duas partículas movem-se de acordo com as seguintes equações de movimento: x1(t)=5 cos (3.5 t+pi / 3) e x2(t)=5 cos (3.5 t+2 pi / 3) onde as posições x1(t) e x2(t) são dadas em metros e o tempo t, em segundos.
e) No instante de tempo 2 s , qual é a velocidade e a aceleração das partículas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas com suas posições descritas por funções de cosseno:
x1(t) = 5 cos (3.5 t + pi3)
x2(t) = 5 cos (3.5 t + 2pi3)
O que precisamos encontrar é a velocidade e a aceleração de cada uma delas no instante de tempo $ t = 2 $ segundos. Para isso, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade das partículas. A posição está dada por funções de cosseno, então precisamos derivar essas funções com relação ao tempo $ t $.
A derivada de $ \cos(at + b) $ em relação a $ t $ é $ -a \sin(at + b) $. Aplicando isso às nossas funções:
Para $ x_{1}(t) $:
t
cos(at + b)
Para $ x_{2}(t) $:
t
-a sin(at + b)

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade. Como a velocidade também é uma função de seno, a derivada será uma função de cosseno.
A derivada de $ \sin(at + b) $ em relação a $ t $ é $ a \cos(at + b) $. Então:
Para $ v_{1}(t) $:
sin(at + b)
t
Para $ v_{2}(t) $:
a cos(at + b)
v1(t)

Passo 4

Finalmente, vamos substituir $ t = 2 $ segundos nas expressões de velocidade e aceleração para encontrar os valores específicos.
Para $ v_{1}(2) $:
t = 2
v1(2)
Para $ v_{2}(2) $:
v1(2) = -17.5 sin(3.5 times 2 + pi3)
Para $ a_{1}(2) $:
v1(2) = -17.5 sin(7 + pi3)
Para $ a_{2}(2) $:
v2(2)

Resposta

As velocidades e acelerações das partículas no instante $ t = 2 $ segundos são:
Para a partícula 1:
t = 2
v1(2) = -17.5 sin(7 + pi3) m/s
Para a partícula 2:
a1(2) = -61.25 cos(7 + pi3) m/s^2
v2(2) = -17.5 sin(7 + 2pi3) m/s
Para obter os valores numéricos, basta calcular os valores das funções seno e cosseno nos ângulos indicados.

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