Duas partículas movem-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
e
onde as posições
e
são dadas em metros e o tempo
, em segundos.
e) No instante de tempo 2 s , qual é a velocidade e a aceleração das partículas?
e) No instante de tempo 2 s , qual é a velocidade e a aceleração das partículas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas partículas com suas posições descritas por funções de cosseno:
O que precisamos encontrar é a velocidade e a aceleração de cada uma delas no instante de tempo $ t = 2 $ segundos. Para isso, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade das partículas. A posição está dada por funções de cosseno, então precisamos derivar essas funções com relação ao tempo $ t $.
A derivada de $ \cos(at + b) $ em relação a $ t $ é $ -a \sin(at + b) $. Aplicando isso às nossas funções:
Para $ x_{1}(t) $:
Para $ x_{2}(t) $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade. Como a velocidade também é uma função de seno, a derivada será uma função de cosseno.
A derivada de $ \sin(at + b) $ em relação a $ t $ é $ a \cos(at + b) $. Então:
Para $ v_{1}(t) $:
Para $ v_{2}(t) $:
Passo 4
Finalmente, vamos substituir $ t = 2 $ segundos nas expressões de velocidade e aceleração para encontrar os valores específicos.
Para $ v_{1}(2) $:
Para $ v_{2}(2) $:
Para $ a_{1}(2) $:
Para $ a_{2}(2) $:
Resposta
As velocidades e acelerações das partículas no instante $ t = 2 $ segundos são:
Para a partícula 1:
Para a partícula 2:
Para obter os valores numéricos, basta calcular os valores das funções seno e cosseno nos ângulos indicados.