Duas partículas movem-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
e
onde as posições
e
são dadas em metros e o tempo
, em segundos.
c) Determine o primeiro instante de tempo em que as partículas se encontram, e a posição onde isso ocorre.
c) Determine o primeiro instante de tempo em que as partículas se encontram, e a posição onde isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas partículas que estão se movendo com posições dadas por $ x_{1}(t) = 5 \cos (3.5 t + \pi / 3) $ e $ x_{2}(t) = 5 \cos (3.5 t + 2 \pi / 3) $, onde $ t $ é o tempo em segundos e as posições são em metros. Nosso objetivo aqui é descobrir o primeiro momento em que essas duas partículas estão na mesma posição, ou seja, quando $ x_{1}(t) = x_{2}(t) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente as propriedades do cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar as duas funções de posição para encontrar o instante $ t $ em que as partículas se encontram:
Podemos dividir ambos os lados por 5 para simplificar:
Passo 3
Sabemos que o cosseno de dois ângulos é igual quando os ângulos são iguais ou quando um é o suplemento do outro, ou seja:
onde $ k $ é um inteiro qualquer. Aplicando isso aos nossos ângulos:
-
$ 3.5 t + \pi / 3 = 3.5 t + 2 \pi / 3 + 2\pi k $
-
$ 3.5 t + \pi / 3 = - (3.5 t + 2 \pi / 3) + 2\pi k $
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação:
Subtraindo $ 3.5 t $ de ambos os lados:
Isolando $ k $:
Como $ k $ deve ser um inteiro, essa solução não é válida. Então, vamos para a segunda equação.
Passo 5
Resolvendo a segunda equação:
Somando $ 3.5 t $ e $ 2 \pi / 3 $ de ambos os lados:
Isolando $ t $:
Passo 6
Queremos o primeiro instante positivo, então escolhemos $ k = 1 $:
Passo 7
Agora, para encontrar a posição onde isso ocorre, substituímos $ t = \pi / 7 $ em uma das funções de posição, por exemplo, em $ x_{1}(t) $:
Sabemos que $ \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
Resposta
As partículas se encontram pela primeira vez após aproximadamente $ 0{,}45 $ segundos, na posição $ -\frac{5\sqrt{3}}{2} $ metros.