Duas partículas movem-se de acordo com as seguintes equações de movimento: x1(t)=5 cos (3.5 t+pi / 3) e x2(t)=5 cos (3.5 t+2 pi / 3) onde as posições x1(t) e x2(t) são dadas em metros e o tempo t, em segundos.
c) Determine o primeiro instante de tempo em que as partículas se encontram, e a posição onde isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas partículas que estão se movendo com posições dadas por $ x_{1}(t) = 5 \cos (3.5 t + \pi / 3) $ e $ x_{2}(t) = 5 \cos (3.5 t + 2 \pi / 3) $, onde $ t $ é o tempo em segundos e as posições são em metros. Nosso objetivo aqui é descobrir o primeiro momento em que essas duas partículas estão na mesma posição, ou seja, quando $ x_{1}(t) = x_{2}(t) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente as propriedades do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas funções de posição para encontrar o instante $ t $ em que as partículas se encontram:
t
Podemos dividir ambos os lados por 5 para simplificar:
5 cos (3.5 t + pi / 3) = 5 cos (3.5 t + 2 pi / 3)

Passo 3

Sabemos que o cosseno de dois ângulos é igual quando os ângulos são iguais ou quando um é o suplemento do outro, ou seja:
a = b + 2pi k ou a = -b + 2pi k
onde $ k $ é um inteiro qualquer. Aplicando isso aos nossos ângulos:
  1. $ 3.5 t + \pi / 3 = 3.5 t + 2 \pi / 3 + 2\pi k $
  2. $ 3.5 t + \pi / 3 = - (3.5 t + 2 \pi / 3) + 2\pi k $

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
3.5 t + pi / 3 = 3.5 t + 2 pi / 3 + 2pi k
Subtraindo $ 3.5 t $ de ambos os lados:
3.5 t
Isolando $ k $:
pi / 3 = 2 pi / 3 + 2pi k
Como $ k $ deve ser um inteiro, essa solução não é válida. Então, vamos para a segunda equação.

Passo 5

Resolvendo a segunda equação:
3.5 t + pi / 3 = -3.5 t - 2 pi / 3 + 2pi k
Somando $ 3.5 t $ e $ 2 \pi / 3 $ de ambos os lados:
3.5 t
Isolando $ t $:
2 pi / 3

Passo 6

Queremos o primeiro instante positivo, então escolhemos $ k = 1 $:
k = 1

Passo 7

Agora, para encontrar a posição onde isso ocorre, substituímos $ t = \pi / 7 $ em uma das funções de posição, por exemplo, em $ x_{1}(t) $:
t = pi / 7
Sabemos que $ \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
x1(t)

Resposta

As partículas se encontram pela primeira vez após aproximadamente $ 0{,}45 $ segundos, na posição $ -\frac{5\sqrt{3}}{2} $ metros.

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