Duas partículas movem-se de acordo com as seguintes equações de movimento: x1(t)=5 cos (3.5 t+pi / 3) e x2(t)=5 cos (3.5 t+2 pi / 3) onde as posições x1(t) e x2(t) são dadas em metros e o tempo t, em segundos.
b) Qual é a posição da partícula 2 , quando a partícula 1 passa pela posição x1=4 m pela primeira vez?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas que se movem de acordo com as equações:
x1(t) = 5 cos (3.5 t + pi3)
x2(t) = 5 cos (3.5 t + 2pi3)
Aqui, $ x_{1}(t) $ e $ x_{2}(t) $ representam as posições das partículas 1 e 2 em metros no tempo $ t $ em segundos. A pergunta quer saber qual é a posição da partícula 2 quando a partícula 1 atinge a posição $ x_{1} = 4 $ metros pela primeira vez.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções trigonométricas, especialmente sobre como resolver equações envolvendo o cosseno e como relacionar as posições das duas partículas no mesmo instante de tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o instante de tempo $ t $ quando a partícula 1 está na posição $ x_{1} = 4 $ metros. Vamos usar a equação da partícula 1:
t
Para resolver essa equação, vamos isolar o cosseno:
x1 = 4

Passo 3

Agora, para encontrar o valor de $ 3.5 t + \frac{\pi}{3} $, precisamos usar a função arco cosseno (também conhecida como $ \cos^{-1} $):
3.5 t + pi3
Usando uma calculadora ou tabela trigonométrica, encontramos que:
cos^-1

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ t $:
t
Primeiro, calculamos $ \frac{\pi}{3} $:
3.5 t = 0.6435 - pi3
Subtraindo:
pi3
pi3 approx 1.0472 , radianos
Agora, dividimos ambos os lados por 3.5 para encontrar $ t $:
3.5 t = 0.6435 - 1.0472
3.5 t = -0.4037
No entanto, o tempo não pode ser negativo nesse contexto, então precisamos considerar o próximo ponto onde o cosseno atinge $ \frac{4}{5} $. A função cosseno é periódica, e o próximo valor positivo de $ t $ será:
t
t = -0.40373.5
Calculando:
t approx -0.115 , segundos
45
t
3.5 t + pi3 = 2pi - 0.6435
3.5 t = 2pi - 0.6435 - pi3

Passo 5

Agora que temos o tempo $ t \approx 1.311 $ segundos quando a partícula 1 está em $ x_{1} = 4 $ metros, vamos calcular a posição da partícula 2 nesse mesmo instante usando a equação de $ x_{2}(t) $:
t approx 1.311
Primeiro, calculamos o argumento do cosseno:
x1 = 4
x2(t)
x2(1.311) = 5 cos (3.5 times 1.311 + 2pi3)
Então:
3.5 times 1.311 = 4.5885
Usando a calculadora:
2pi3 approx 2.0944
Multiplicando por 5:
4.5885 + 2.0944 = 6.6829 , radianos
x2(1.311) = 5 cos(6.6829)

Resposta

Quando a partícula 1 passa por $ x_{1} = 4 $ metros pela primeira vez, a posição da partícula 2 é aproximadamente $ 4.95 $ metros.

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