Duas partículas movem-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
e
onde as posições
e
são dadas em metros e o tempo
, em segundos.
b) Qual é a posição da partícula 2 , quando a partícula 1 passa pela posição
pela primeira vez?
b) Qual é a posição da partícula 2 , quando a partícula 1 passa pela posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas que se movem de acordo com as equações:
Aqui, $ x_{1}(t) $ e $ x_{2}(t) $ representam as posições das partículas 1 e 2 em metros no tempo $ t $ em segundos. A pergunta quer saber qual é a posição da partícula 2 quando a partícula 1 atinge a posição $ x_{1} = 4 $ metros pela primeira vez.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções trigonométricas, especialmente sobre como resolver equações envolvendo o cosseno e como relacionar as posições das duas partículas no mesmo instante de tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o instante de tempo $ t $ quando a partícula 1 está na posição $ x_{1} = 4 $ metros. Vamos usar a equação da partícula 1:
Para resolver essa equação, vamos isolar o cosseno:
Passo 3
Agora, para encontrar o valor de $ 3.5 t + \frac{\pi}{3} $, precisamos usar a função arco cosseno (também conhecida como $ \cos^{-1} $):
Usando uma calculadora ou tabela trigonométrica, encontramos que:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ t $:
Primeiro, calculamos $ \frac{\pi}{3} $:
Subtraindo:
Agora, dividimos ambos os lados por 3.5 para encontrar $ t $:
No entanto, o tempo não pode ser negativo nesse contexto, então precisamos considerar o próximo ponto onde o cosseno atinge $ \frac{4}{5} $. A função cosseno é periódica, e o próximo valor positivo de $ t $ será:
Calculando:
Passo 5
Agora que temos o tempo $ t \approx 1.311 $ segundos quando a partícula 1 está em $ x_{1} = 4 $ metros, vamos calcular a posição da partícula 2 nesse mesmo instante usando a equação de $ x_{2}(t) $:
Primeiro, calculamos o argumento do cosseno:
Então:
Usando a calculadora:
Multiplicando por 5:
Resposta
Quando a partícula 1 passa por $ x_{1} = 4 $ metros pela primeira vez, a posição da partícula 2 é aproximadamente $ 4.95 $ metros.