Duas partículas movem-se de acordo com as seguintes equações de movimento: x1(t)=5 cos (3.5 t+pi / 3) e x2(t)=5 cos (3.5 t+2 pi / 3) onde as posições x1(t) e x2(t) são dadas em metros e o tempo t, em segundos.
d) Determine as equações de velocidade e aceleração destas partículas!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partículas que se movem de acordo com as equações de posição:
x1(t) = 5 cos (3.5 t + pi3)
x2(t) = 5 cos (3.5 t + 2pi3)
O que a gente precisa encontrar aqui são as equações de velocidade e aceleração dessas partículas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade das partículas. Como a posição $ x(t) $ está dada por uma função de cosseno, a derivada de $ \cos(at + b) $ em relação ao tempo $ t $ é:
x(t)
Aplicando isso às equações de posição:
Para $ x_{1}(t) $:
cos(at + b)
Para $ x_{2}(t) $:
t

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração das partículas. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Como a velocidade já é uma função de seno, aplicamos novamente a regra da derivada:
ddt [sin(at + b)] = a cos(at + b)
Então, derivando as equações de velocidade:
Para $ v_{1}(t) $:
v1(t)
Para $ v_{2}(t) $:
a1(t) = dv1dt = -17.5 times 3.5 cos(3.5 t + pi3) = -61.25 cos(3.5 t + pi3)

Resposta

As equações de velocidade e aceleração das partículas são:
Para a primeira partícula:
v1(t) = -17.5 sin(3.5 t + pi3)
a1(t) = -61.25 cos(3.5 t + pi3)
Para a segunda partícula:
v2(t) = -17.5 sin(3.5 t + 2pi3)
a2(t) = -61.25 cos(3.5 t + 2pi3)

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