Uma esfera de ouro de raio
uniformemente carregada com carga
está no centro de uma esfera oca também de ouro com raio interno
e raio externo
. Se a esfera oca tem carga total igual a
calcule: a) o campo elétrico em todo o espaço
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma esfera de ouro com raio
e carga
no centro de uma esfera oca também de ouro, que tem raio interno
e raio externo
, com carga total
. Precisamos calcular o campo elétrico em todo o espaço. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar campos elétricos com simetria esférica.
Passo 2
Vamos identificar as diferentes regiões onde precisamos calcular o campo elétrico:
- Dentro da esfera de ouro carregada (raio menor que
). - Entre a esfera de ouro e a esfera oca (entre
e ). - Dentro da esfera oca (entre
e ). - Fora da esfera oca (raio maior que
).
Passo 3
Região 1: Dentro da esfera de ouro (raio
)
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Então, para ,
.
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Então, para
Passo 4
Região 2: Entre a esfera de ouro e a esfera oca (
)
Aqui, aplicamos a Lei de Gauss. A carga interna dentro de uma superfície gaussiana esférica de raio é apenas
. A Lei de Gauss diz que:
Aqui, aplicamos a Lei de Gauss. A carga interna dentro de uma superfície gaussiana esférica de raio
Resolvendo para
:
Passo 5
Região 3: Dentro da esfera oca (
)
Dentro de um condutor, o campo elétrico também é zero. Portanto, para ,
.
Dentro de um condutor, o campo elétrico também é zero. Portanto, para
Passo 6
Região 4: Fora da esfera oca (
)
Agora, consideramos toda a carga dentro de uma superfície gaussiana de raio . As cargas dentro são
e
, totalizando
. Aplicando a Lei de Gauss:
Agora, consideramos toda a carga dentro de uma superfície gaussiana de raio
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico em todo o espaço é dado por: