Duas partículas P1 e P2 se movem retilineamente e uniformemente. A primeira partí-
cula inicia seu movimento em A : (1,1,2) e se move com velocidade v=14 na direção do vetor (-3,6,-2), a segunda partícula começa no ponto B : (0,1,4) e se move com velocidade v=13 na direção oposta ao vetor (-4,-3,12).
a) Escreva as equações de movimento para cada partícula.
b) Mostre que suas trajetórias se interceptam e ache o ponto P de intersecção.
c) Determine o tempo que a primeira partícula gasta para ir de A até P.
d) Determine o tempo que a segunda partícula gasta para ir de B até P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas, P1 e P2 , que se movem em linha reta com velocidades constantes. A primeira partícula começa no ponto A(1,1,2) e se move na direção do vetor (-3,6,-2) com velocidade 14 . A segunda partícula começa no ponto B(0,1,4) e se move na direção oposta ao vetor (-4,-3,12) com velocidade 13 . Para resolver esse exercício, vamos usar as equações paramétricas do movimento retilíneo uniforme e conceitos de vetores.

Passo 2

a) Escreva as equações de movimento para cada partícula.
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade de cada partícula.
Para P1 :
  • Direção do movimento: u = (-3,6,-2)
  • Velocidade: v1 = 14
Calculamos o vetor unitário na direção de u :
uunit = u|u| = (-3,6,-2)raiz(-3)^2 + 6^2 + (-2)^2 = (-3,6,-2)7 = ( -37, 67, -27 )
Então, o vetor velocidade de P1 é:
v1 = v1 cdot uunit = 14 cdot ( -37, 67, -27 ) = (-6,12,-4)
A equação de movimento de P1 é:
r1(t) = (1,1,2) + (-6,12,-4)t = (1 - 6t,, 1 + 12t,, 2 - 4t)
Para P2 :
  • Direção do movimento oposta a v = (-4,-3,12) , então voposta = (4,3,-12)
  • Velocidade: v2 = 13
Calculamos o vetor unitário na direção oposta:
voposta, unit = (4,3,-12)raiz4^2 + 3^2 + (-12)^2 = (4,3,-12)13 = ( 413, 313, -1213 )
Então, o vetor velocidade de P2 é:
v2 = v2 cdot voposta, unit = 13 cdot ( 413, 313, -1213 ) = (4,3,-12)
A equação de movimento de P2 é:
r2(t) = (0,1,4) + (4,3,-12)t = (4t,, 1 + 3t,, 4 - 12t)

Passo 3

b) Mostre que suas trajetórias se interceptam e ache o ponto [P) de intersecção.
Para que as trajetórias se interceptem, as posições de e devem ser iguais para um mesmo tempo :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendas:
Os valores de não são iguais, o que indica que não existe um tempo comum em que as duas partículas ocupem o mesmo ponto no espaço. Portanto, as trajetórias não se interceptam.

Passo 4

c) Determine o tempo que a primeira partícula gasta para ir de A até P .
Como concluímos no Passo 3 que as trajetórias não se interceptam, não existe um ponto P . Logo, não há tempo para P1 ir de A até P .

Passo 5

d) Determine o tempo que a segunda partícula gasta para ir de B até P .
Da mesma forma, já que não há ponto de interseção P , não há tempo para P2 ir de B até P .

Resposta

As trajetórias das partículas P1 e P2 não se interceptam. Portanto, não existe um ponto de interseção P e não há tempos a serem calculados para as partículas irem de A e B até P .

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