Duas partículas e se movem retilineamente e uniformemente. A primeira partí-
cula inicia seu movimento em : e se move com velocidade na direção do vetor , a segunda partícula começa no ponto B : e se move com velocidade na direção oposta ao vetor .
a) Escreva as equações de movimento para cada partícula.
b) Mostre que suas trajetórias se interceptam e ache o ponto P de intersecção.
c) Determine o tempo que a primeira partícula gasta para ir de até .
d) Determine o tempo que a segunda partícula gasta para ir de B até P.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas partículas, e , que se movem em linha reta com velocidades constantes. A primeira partícula começa no ponto e se move na direção do vetor com velocidade . A segunda partícula começa no ponto e se move na direção oposta ao vetor com velocidade . Para resolver esse exercício, vamos usar as equações paramétricas do movimento retilíneo uniforme e conceitos de vetores.
Passo 2
a) Escreva as equações de movimento para cada partícula.
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade de cada partícula.
Para :
Direção do movimento:
Velocidade:
Calculamos o vetor unitário na direção de :
Então, o vetor velocidade de é:
A equação de movimento de é:
Para :
Direção do movimento oposta a , então
Velocidade:
Calculamos o vetor unitário na direção oposta:
Então, o vetor velocidade de é:
A equação de movimento de é:
Passo 3
b) Mostre que suas trajetórias se interceptam e ache o ponto [P) de intersecção.
Para que as trajetórias se interceptem, as posições de e devem ser iguais para um mesmo tempo :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendas:
→
→ → →
→ →
Os valores de não são iguais, o que indica que não existe um tempo comum em que as duas partículas ocupem o mesmo ponto no espaço. Portanto, as trajetórias não se interceptam.
Passo 4
c) Determine o tempo que a primeira partícula gasta para ir de A até P .
Como concluímos no Passo 3 que as trajetórias não se interceptam, não existe um ponto P . Logo, não há tempo para P1 ir de A até P .
Passo 5
d) Determine o tempo que a segunda partícula gasta para ir de B até P .
Da mesma forma, já que não há ponto de interseção P , não há tempo para P2 ir de B até P .
Resposta
As trajetórias das partículas P1 e P2 não se interceptam. Portanto, não existe um ponto de interseção P e não há tempos a serem calculados para as partículas irem de A e B até P .