Sejam B e C matrizes m times n, tais B X=C X, para todo X, n times 1. Mostre que B=C (Sugestão: use o exercício anterior.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de álgebra linear onde B e C são matrizes de tamanho m times n . A condição que a gente tem é que para qualquer vetor X de tamanho n times 1 , B X = C X . Nosso objetivo é mostrar que, com essa condição, as matrizes B e C devem ser iguais, ou seja, B = C .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de matrizes e de como elas agem sobre vetores. Também vamos usar o fato de que se duas matrizes multiplicadas por qualquer vetor resultam no mesmo vetor, então as matrizes devem ser idênticas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa multiplicar uma matriz por um vetor. Quando multiplicamos uma matriz B por um vetor X , o resultado B X é outro vetor. A condição dada no problema diz que esse resultado é o mesmo que C X para qualquer vetor X .

Passo 3

Vamos considerar o caso em que X é um vetor canônico. Os vetores canônicos são aqueles onde todos os componentes são zero, exceto um que é 1. Por exemplo, no caso de n = 3 , os vetores canônicos são:
e1 = 1 0 0, e2 = 0 1 0, e3 = 0 0 1

Passo 4

Vamos multiplicar tanto B quanto C por cada um desses vetores canônicos. Por exemplo, multiplicando por e1 :
B e1 = primeira coluna de B
C e1 = primeira coluna de C
Como B e1 = C e1 , concluímos que a primeira coluna de B é igual à primeira coluna de C .

Passo 5

Repetindo esse processo para e2, e3, dots, en , mostramos que cada coluna de B é igual à correspondente coluna de C .

Passo 6

Como todas as colunas de B são iguais às de C , isso implica que B e C são matrizes iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que B = C .

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