Sejam e matrizes , tais , para todo . Mostre que (Sugestão: use o exercício anterior.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de álgebra linear onde B e C são matrizes de tamanho . A condição que a gente tem é que para qualquer vetor de tamanho , . Nosso objetivo é mostrar que, com essa condição, as matrizes B e C devem ser iguais, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de matrizes e de como elas agem sobre vetores. Também vamos usar o fato de que se duas matrizes multiplicadas por qualquer vetor resultam no mesmo vetor, então as matrizes devem ser idênticas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa multiplicar uma matriz por um vetor. Quando multiplicamos uma matriz por um vetor , o resultado é outro vetor. A condição dada no problema diz que esse resultado é o mesmo que para qualquer vetor .
Passo 3
Vamos considerar o caso em que é um vetor canônico. Os vetores canônicos são aqueles onde todos os componentes são zero, exceto um que é 1. Por exemplo, no caso de , os vetores canônicos são:
Passo 4
Vamos multiplicar tanto B quanto C por cada um desses vetores canônicos. Por exemplo, multiplicando por e1 :
B e1 = primeira coluna de B
C e1 = primeira coluna de C
Como B e1 = C e1 , concluímos que a primeira coluna de B é igual à primeira coluna de C .
Passo 5
Repetindo esse processo para e2, e3, dots, en , mostramos que cada coluna de B é igual à correspondente coluna de C .
Passo 6
Como todas as colunas de B são iguais às de C , isso implica que B e C são matrizes iguais.