Duas partículas pontuais de carga Q são colocadas nos pontos ( pm l, 0 ). Uma partícula com carga positiva q e massa m é inicialmente colocada no ponto médio da reta que une as partículas e um pequeno impulso é aplicado sobre ela. Se essa partícula só pode se mover ao longo da reta que une as cargas, mostre que ela oscila num movimento harmônico simples, e encontre

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas fixas Q nos pontos (-l,0) e (l,0) e uma carga de prova positiva q de massa m inicialmente em x=0. Ela só pode deslizar ao longo do eixo x. Queremos mostrar que, para pequenos deslocamentos em torno de x=0, o movimento é harmônico simples e calcular sua frequência (ou período). Para isso usaremos a Lei de Coulomb e a aproximação de pequenos deslocamentos.

Passo 2

Se a partícula de prova estiver em x, a força repulsiva da carga em (-l,0) aponta para a direita com módulo
F1 = k,Q,q(l + x)^2,
e a força da carga em (l,0) aponta para a esquerda com módulo
F2 = k,Q,q(l - x)^2
O sinal da força resultante F (tomado positivo para a direita) é
F(x) = F1 - F2 = k,Q,ql(1(l + x)^2 - 1(l - x)^2r)

Passo 3

No ponto de equilíbrio x=0 temos
F(0) = k,Q,ql(1l^2 - 1l^2r) = 0,
como esperado.

Passo 4

Para x pequeno em relação a l usamos a expansão de Taylor até a ordem linear:
1(l pm x)^2 approx 1l^2l(1 mp 2xlr)
Logo
1(l + x)^2 - 1(l - x)^2 approx 1l^2l(1 - 2xlr) - 1l^2l(1 + 2xlr) = -,4xl^3
Substituindo em F(x) fica
F(x)approx k,Q,ql(-4xl^3r) = -4k,Q,ql^3,x

Passo 5

A segunda lei de Newton m,ddot x = F(x) torna-se
m,ddot x = -4k,Q,ql^3,x,
que é a equação do movimento harmônico simples com
omega^2 = 4k,Q,qm,l^3
O período T é
T = 2piomega = 2pi raizm,l^34k,Q,q

Resposta

O movimento é harmônico simples com
omega = raiz4k,Q,qm,l^3
e período
T = 2pi raizm,l^34k,Q,q.

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