Duas películas infinitas de cargas, ambas com densidade uniforme de cargas
, estão localizadas, respectivamente, em
e
. Determine a densidade linear de cargas
necessária para produzir o mesmo valor do vetor campo elétrico no ponto
, se a linha de cargas está localizada em
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a densidade linear de carga
de uma linha de cargas (localizada em
e
, isto é, eixo
) tal que o vetor campo elétrico no ponto
seja igual ao campo produzido por duas películas infinitas de cargas, ambas com densidade superficial
, localizadas em
e
.
Informações relevantes do enunciado:
-
. - Película 1: plano em
. - Película 2: plano em
. - Ponto onde comparar o campo:
. - Linha de cargas: eixo
(isto é, ), densidade linear (a determinar). - Objetivo: achar
tal que .
Passo 2
Fórmula e entendimento do campo elétrico de uma película infinita uniforme: uma película infinita com densidade superficial
produz um campo elétrico de magnitude
em cada lado do plano, apontando para fora do plano se
(ou para dentro se
). Aqui
é a permissividade do vácuo. Isso é um resultado padrão que vem da simetria do plano e da lei de Gauss — importante: o campo tem magnitude constante e direção normal ao plano, não depende da distância ao plano.
Agora aplicamos ao plano em
. O ponto considerado tem coordenada
, que está do lado positivo (acima) do plano em
. Se
, o campo produzido por esse plano no ponto aponta no sentido
(para cima). Portanto o vetor campo devido à película em
é
Passo 3
Aplicamos a mesma ideia ao plano em
. O ponto tem
, que está do lado positivo do plano em
. Assim, se
, o campo desse plano no ponto aponta no sentido
. Portanto
Passo 4
Somando os campos das duas películas (superposição linear), o campo total produzido pelas películas no ponto
é
Em componentes:
Passo 5
Fórmula e entendimento do campo elétrico de uma linha infinita de carga: uma linha infinita com densidade linear
produz, em um ponto a distância perpendicular
da linha, um campo de magnitude
direcionado radialmente para fora da linha se
. Esse resultado também vem de simetria e da lei de Gauss aplicada a um cilindro coaxial com a linha.
No nosso caso a linha está no eixo
(isto é, em
). O ponto é
. A distância perpendicular
da linha ao ponto é a distância no plano
:
A direção do campo é ao longo do vetor que vai da linha para o ponto, isto é
. O versor radial é
Logo o campo vetorial da linha no ponto é
Substituindo
e simplificando por
quando conveniente, podemos escrever as componentes
e
como
Observe que
por simetria (a linha está ao longo de
).
(Nota didática: calculei
usando
. Como
e
, isso dá
. Mesmo valor para
porque
.)
Passo 6
Imponha que o campo da linha seja igual ao campo total das películas. Como os campos têm apenas componentes em
e
e estas componentes são iguais entre si em ambos os casos, basta igualar a componente
(ou a
):
Cancelamos
em ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora substituímos
:
Escrevendo em notação decimal aproximada (duas casas significativas):