Duas películas infinitas de cargas, ambas com densidade uniforme de cargas \sigma=10^{-9} / 6 \pi \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}, estão localizadas, respectivamente, em z=-5 \mathrm{~m} e y=-5 \mathrm{~m}. Determine a densidade linear de cargas \lambda necessária para produzir o mesmo valor do vetor campo elétrico no ponto (4,2,2) \mathrm{m}, se a linha de cargas está localizada em z=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a densidade linear de carga \lambda de uma linha de cargas (localizada em z=0 e y=0, isto é, eixo x) tal que o vetor campo elétrico no ponto (4,2,2)\\ \mathrm{m} seja igual ao campo produzido por duas películas infinitas de cargas, ambas com densidade superficial \sigma=\dfrac{10^{-9}}{6\pi}\\ \mathrm{C/m^{2}}, localizadas em z=-5\\ \mathrm{m} e y=-5\\ \mathrm{m}.
Informações relevantes do enunciado:
  • \sigma=\dfrac{10^{-9}}{6\pi}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • Película 1: plano em z=-5\\ \mathrm{m}.
  • Película 2: plano em y=-5\\ \mathrm{m}.
  • Ponto onde comparar o campo: (4,2,2)\\ \mathrm{m}.
  • Linha de cargas: eixo x (isto é, y=0,\\ z=0), densidade linear \lambda (a determinar).
  • Objetivo: achar \lambda tal que \mathbf{E}_{\text{linha}}(4,2,2)=\mathbf{E}_{\text{películas}}(4,2,2)í.

Passo 2

Fórmula e entendimento do campo elétrico de uma película infinita uniforme: uma película infinita com densidade superficial \sigma produz um campo elétrico de magnitude
E_{\text{plano}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
em cada lado do plano, apontando para fora do plano se \sigma>0 (ou para dentro se \sigma<0). Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Isso é um resultado padrão que vem da simetria do plano e da lei de Gauss — importante: o campo tem magnitude constante e direção normal ao plano, não depende da distância ao plano.
Agora aplicamos ao plano em z=-5. O ponto considerado tem coordenada z=2, que está do lado positivo (acima) do plano em z=-5. Se \sigma>0, o campo produzido por esse plano no ponto aponta no sentido +\hat{k} (para cima). Portanto o vetor campo devido à película em z=-5 é
\mathbf{E}_{z\text{-plano}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{k}.

Passo 3

Aplicamos a mesma ideia ao plano em y=-5. O ponto tem y=2, que está do lado positivo do plano em y=-5. Assim, se \sigma>0, o campo desse plano no ponto aponta no sentido +\hat{\jmath}. Portanto
\mathbf{E}_{y\text{-plano}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Somando os campos das duas películas (superposição linear), o campo total produzido pelas películas no ponto (4,2,2) é
\mathbf{E}_{\text{películas}}=\mathbf{E}_{y\text{-plano}}+\mathbf{E}_{z\text{-plano}} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{\jmath}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{k}.í
Em componentes:
E_{x}^{\text{(películas)}}=0,\qquad E_{y}^{\text{(películas)}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},\qquad E_{z}^{\text{(películas)}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.ííí

Passo 5

Fórmula e entendimento do campo elétrico de uma linha infinita de carga: uma linha infinita com densidade linear \lambda produz, em um ponto a distância perpendicular r da linha, um campo de magnitude
E_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},
direcionado radialmente para fora da linha se \lambda>0. Esse resultado também vem de simetria e da lei de Gauss aplicada a um cilindro coaxial com a linha.
No nosso caso a linha está no eixo x (isto é, em y=0,z=0). O ponto é (4,2,2). A distância perpendicular r da linha ao ponto é a distância no plano yz:
r=\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
A direção do campo é ao longo do vetor que vai da linha para o ponto, isto é (0,2,2). O versor radial é
\hat{r}=\frac{1}{r}(0,2,2)=\frac{1}{2\sqrt{2}}(0,2,2)=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Logo o campo vetorial da linha no ponto é
\mathbf{E}_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\hat{r}.
Substituindo \hat{r} e simplificando por r^2 quando conveniente, podemos escrever as componentes y e z como
E_{y}^{\text{(linha)}}=E_{z}^{\text{(linha)}}=\frac{\lambda\,y}{2\pi\varepsilon_0 r^{2}}=\frac{\lambda\cdot 2}{2\pi\varepsilon_0\cdot 8}=\frac{\lambda}{8\pi\varepsilon_0}.
Observe que E_x^{\text{(linha)}}=0 por simetria (a linha está ao longo de x).
(Nota didática: calculei E_y usando E_y=(\lambda/(2\pi\varepsilon_0 r))\cdot(y/r)=\lambda y/(2\pi\varepsilon_0 r^2). Como y=2 e r^{2}=8, isso dá \lambda/(8\pi\varepsilon_0). Mesmo valor para E_z porque z=y.)

Passo 6

Imponha que o campo da linha seja igual ao campo total das películas. Como os campos têm apenas componentes em y e z e estas componentes são iguais entre si em ambos os casos, basta igualar a componente y (ou a z):
\frac{\lambda}{8\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Cancelamos \varepsilon_0 em ambos os lados:
\frac{\lambda}{8\pi}=\frac{\sigma}{2}.
Resolvendo para \lambda:
\lambda=8\pi\cdot\frac{\sigma}{2}=4\pi\sigma.

Passo 7

Agora substituímos \sigma=\dfrac{10^{-9}}{6\pi}:
\lambda=4\pi\cdot\frac{10^{-9}}{6\pi}= \frac{4}{6}\,10^{-9}=\frac{2}{3}\,10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
Escrevendo em notação decimal aproximada (duas casas significativas):
\lambda \approx 6{,}67\times 10^{-10}\\ \mathrm{C/m}.

Resposta

\displaystyle \lambda=\frac{2}{3}\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m}\n
\displaystyle \lambda\approx 6{,}67\times 10^{-10}\\ \mathrm{C/m}

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