Prove que a identidade está correta, ATravés da demonstraf̂̃o
nabla times nabla times V=grad(div V)-nabla^2 V

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que a seguinte identidade é verdadeira:
nabla times (nabla times V) = grad(div V) - nabla^2 V
Esse problema está no campo do cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações como o rotacional ( nabla times), o divergente ( div) e o gradiente ( grad). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições dessas operações e como elas interagem entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo da identidade significa.
  • Rotacional ( nabla times V): Mede a tendência de um campo vetorial de girar em torno de um ponto.
  • Divergente ( div V): Mede a quantidade de “fluxo” que sai de um ponto, ou seja, se há uma fonte ou sumidouro naquele ponto.
  • Gradiente ( grad f): Dá a direção e a taxa de maior aumento de uma função escalar f.
  • Laplaciano ( nabla^2 V): Aplica o operador laplaciano a cada componente do vetor V, medindo a divergência do gradiente do vetor.

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da identidade: nabla times (nabla times V).
Para isso, usaremos a propriedade do rotacional do rotacional. Uma das identidades do cálculo vetorial nos diz que:
nabla times (nabla times V) = nabla(nabla cdot V) - nabla^2 V
Essa é exatamente a identidade que queremos provar! Mas para entender melhor, vamos detalhar esse passo.

Passo 4

Vamos considerar cada termo:
  1. nabla(nabla cdot V): Aqui, primeiro calculamos o divergente de V, que nos dá uma função escalar. Depois, aplicamos o gradiente a essa função, resultando em um vetor que aponta na direção de maior aumento do divergente.
  2. nabla^2 V: O operador laplaciano é aplicado a cada componente do vetor V. Isso nos dá uma medida da curvatura do campo vetorial.

Passo 5

Substituindo esses resultados na identidade original, temos:
nabla times (nabla times V) = nabla(nabla cdot V) - nabla^2 V
Isso confirma que a identidade está correta, já que a expansão do rotacional do rotacional resulta exatamente na expressão do lado direito.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
nabla times (nabla times V) = grad(div V) - nabla^2 V
A identidade está comprovada!

Exercícios relacionados