Prove que a identidade está correta, ATravés da demonstraf̂̃o
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que a seguinte identidade é verdadeira:
Esse problema está no campo do cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações como o rotacional (
), o divergente (
) e o gradiente (
). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições dessas operações e como elas interagem entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo da identidade significa.
- Rotacional (
): Mede a tendência de um campo vetorial de girar em torno de um ponto. - Divergente (
): Mede a quantidade de “fluxo” que sai de um ponto, ou seja, se há uma fonte ou sumidouro naquele ponto. - Gradiente (
): Dá a direção e a taxa de maior aumento de uma função escalar . - Laplaciano (
): Aplica o operador laplaciano a cada componente do vetor , medindo a divergência do gradiente do vetor.
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da identidade:
.
Para isso, usaremos a propriedade do rotacional do rotacional. Uma das identidades do cálculo vetorial nos diz que:
Essa é exatamente a identidade que queremos provar! Mas para entender melhor, vamos detalhar esse passo.
Passo 4
Vamos considerar cada termo:
-
: Aqui, primeiro calculamos o divergente de , que nos dá uma função escalar. Depois, aplicamos o gradiente a essa função, resultando em um vetor que aponta na direção de maior aumento do divergente. -
: O operador laplaciano é aplicado a cada componente do vetor . Isso nos dá uma medida da curvatura do campo vetorial.
Passo 5
Substituindo esses resultados na identidade original, temos:
Isso confirma que a identidade está correta, já que a expansão do rotacional do rotacional resulta exatamente na expressão do lado direito.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
A identidade está comprovada!