6.2 Duas placas condutoras muito extensas estão localizadas em
e
. O espaço entre elas apresenta uma distribuição de cargas dada por
. Determine
em
se
-50 V e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Duas placas condutoras muito extensas estão em
e (unidades assumidas em metros). - No espaço entre elas há uma densidade volumétrica de carga dada por
nC/m . (Aqui o enunciado usa nC/m ; vou lembrar de converter para C/m quando necessário.) - As condições de contorno são
V e V. - O que pedem: determinar
em , ou seja, calcular .
Essas são todas as informações relevantes que precisamos usar. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Qual equação usar e por quê (explicando passo a passo como pensar na prova).
- Entre placas condutoras planas e muito extensas, a variação do potencial depende só de
(situação unidimensional). A equação que relaciona potencial e densidade de carga é a equação de Poisson unidimensional:
onde:
-
é o potencial elétrico (em volts), -
é a densidade volumétrica de carga (em C/m ), -
é a permissividade do vazio ( F/m). -
Observação importante sobre unidades: a densidade dada está em nC/m
. Para usar SI, convertemos:
Portanto, usaremos
Passo 3
Montar a equação diferencial e integrar (mostrando cada integração).
Substituindo
na equação de Poisson:
Integramos uma vez para obter
. Integração direta:
Integramos uma segunda vez para obter
:
Para ficar mais legível, defino o coeficiente
então
Aqui
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno
e
.
Passo 4
Simplificar e calcular numericamene o coeficiente
de forma elegante (truque útil na prova).
É prático usar a constante eletrostática
(constante de Coulomb), cujo valor é
. Vou reescrever
:
Isso simplifica muito a conta numérica. Substituindo
:
Portanto, numericamente,
(Observação didática: esse tipo de simplificação com
evita manipular números muito pequenos
diretamente e é um truque prático em provas.)
Passo 5
Determinar
e
usando as condições de contorno e simplificar expressões para
.
Usamos
e
. Das fórmulas:
Subtraindo a primeira da segunda obtemos:
Não precisamos achar explicitamente
para terminar; podemos montar
diretamente. Usando
,
Mas de
obtemos
. Substituindo:
Agora substituímos
:
Colocando em forma prática:
Finalmente, lembrando que
, obtemos a fórmula compacta útil:
ou numericamente
Essa manipulação algébrica é boa para prova: reduz integrações e sistema linear a uma expressão direta.
Passo 6
Calcular numericamente
usando o valor de
encontrado.
Usando
,
Então
Arredondando de forma prática para a precisão que faz sentido aqui (algumas casas decimais):