6.2 Duas placas condutoras muito extensas estão localizadas em x=1 e x=4. O espaço entre elas apresenta uma distribuição de cargas dada por \frac{x}{6 \pi} \mathrm{nC} / \mathrm{m} 3. Determine V em x=2 se V(1)= -50 V e V(4)=50 \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Duas placas condutoras muito extensas estão em x=1 e x=4 (unidades assumidas em metros).
  • No espaço entre elas há uma densidade volumétrica de carga dada por \rho(x)=\dfrac{x}{6\pi} nC/m ^3. (Aqui o enunciado usa nC/m ^3; vou lembrar de converter para C/m ^3 quando necessário.)
  • As condições de contorno são V(1)=-50 V e V(4)=50 V.
  • O que pedem: determinar V em x=2, ou seja, calcular V(2).
Essas são todas as informações relevantes que precisamos usar. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Qual equação usar e por quê (explicando passo a passo como pensar na prova).
  • Entre placas condutoras planas e muito extensas, a variação do potencial depende só de x (situação unidimensional). A equação que relaciona potencial e densidade de carga é a equação de Poisson unidimensional:
\frac{d^{2}V}{dx^{2}} = -\frac{\rho(x)}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • V(x) é o potencial elétrico (em volts),
  • \rho(x) é a densidade volumétrica de carga (em C/m ^3),
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vazio ( \varepsilon_{0}\approx 8{,}854187817\times 10^{-12} F/m).
  • Observação importante sobre unidades: a densidade dada está em nC/m ^3. Para usar SI, convertemos:
1\\ \text{nC/m}^3 = 1\times 10^{-9}\\ \text{C/m}^3.
Portanto, usaremos
\rho(x)=\frac{x}{6\pi}\times 10^{-9}\\ \text{C/m}^3.

Passo 3

Montar a equação diferencial e integrar (mostrando cada integração).
Substituindo \rho(x) na equação de Poisson:
\frac{d^{2}V}{dx^{2}} = -\frac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{x}{6\pi}\cdot 10^{-9}.
Integramos uma vez para obter \dfrac{dV}{dx}. Integração direta:
\frac{dV}{dx} = -\frac{10^{-9}}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{6\pi}\int x\,dx + C_{1} = -\frac{10^{-9}}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{6\pi}\cdot\frac{x^{2}}{2} + C_{1}.
Integramos uma segunda vez para obter V(x):
V(x) = -\frac{10^{-9}}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{6\pi}\cdot\frac{1}{2}\int x^{2}\,dx + C_{1}x + C_{2} = -\frac{10^{-9}}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{x^{3}}{36\pi} + C_{1}x + C_{2}.
Para ficar mais legível, defino o coeficiente
A \equiv \frac{10^{-9}}{36\pi\varepsilon_{0}},
então
V(x) = -A\,x^{3} + C_{1}x + C_{2}.
Aqui C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições de contorno V(1) e V(4).

Passo 4

Simplificar e calcular numericamene o coeficiente A de forma elegante (truque útil na prova).
É prático usar a constante eletrostática k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} (constante de Coulomb), cujo valor é k\approx 8{,}9875517923\times 10^{9}\\ \text{N·m}^2/\text{C}^2. Vou reescrever A:
A=\frac{10^{-9}}{36\pi\varepsilon_{0}} =10^{-9}\cdot\frac{4\pi k}{36\pi} =10^{-9}\cdot\frac{k}{9}.
Isso simplifica muito a conta numérica. Substituindo k:
A \approx 10^{-9}\cdot\frac{8{,}9875517923\times10^{9}}{9} =\frac{8{,}9875517923}{9}\approx 0{,}9986168669.
Portanto, numericamente,
A\approx 0{,}9986168669.
(Observação didática: esse tipo de simplificação com k evita manipular números muito pequenos \varepsilon_{0} diretamente e é um truque prático em provas.)

Passo 5

Determinar C_{1} e C_{2} usando as condições de contorno e simplificar expressões para V(2).
Usamos V(1)=-50 e V(4)=50. Das fórmulas:
V(1) = -A + C_{1} + C_{2} = -50,
V(4) = -64A + 4C_{1} + C_{2} = 50.
Subtraindo a primeira da segunda obtemos:
(-64A+4C_{1}+C_{2}) - (-A+C_{1}+C_{2}) = 50 - (-50),
-63A + 3C_{1} = 100 \quad\Rightarrow\quad C_{1} = \frac{100 + 63A}{3}.
Não precisamos achar explicitamente C_{2} para terminar; podemos montar V(2) diretamente. Usando V(x)=-A x^{3}+C_{1}x+C_{2},
V(2) = -8A + 2C_{1} + C_{2}.
Mas de V(1)=-A + C_{1} + C_{2} = -50 obtemos C_{2} = -50 + A - C_{1}. Substituindo:
V(2) = -8A + 2C_{1} -50 + A - C_{1} = -7A + C_{1} -50.
Agora substituímos C_{1}=\dfrac{100+63A}{3}:
V(2) = -7A -50 + \frac{100+63A}{3}.
Colocando em forma prática:
V(2) = -50 + \frac{100}{3} + \frac{63A}{3} -7A = -50 + \frac{100}{3} + 21A -7A = -50 + \frac{100}{3} + 14A.
Finalmente, lembrando que -50+\dfrac{100}{3} = -\dfrac{50}{3} = -16{,}666\ldots, obtemos a fórmula compacta útil:
\boxed{\,V(2)=V(1)+\frac{V(4)-V(1)}{3} + 14A\,}
ou numericamente
V(2) = -16{,}666\ldots + 14A.
Essa manipulação algébrica é boa para prova: reduz integrações e sistema linear a uma expressão direta.

Passo 6

Calcular numericamente V(2) usando o valor de A encontrado.
Usando A\approx 0{,}9986168669,
14A \approx 14\times 0{,}9986168669 \approx 13{,}980636137.
Então
V(2) \approx -16{,}666\ldots + 13{,}980636137 \approx -2{,}68603053\\ \text{V}.
Arredondando de forma prática para a precisão que faz sentido aqui (algumas casas decimais):
V(2)\approx -2{,}686\\ \text{V}.

Resposta

\displaystyle V(2)\approx -2{,}686\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados