Resolver
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y{2}}{x{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A equação relaciona a derivada \frac{dy}{dx} com x e y.
  • Há um denominador x^{2}, portanto x\neq 0 é um ponto a ser lembrado (a solução é válida para x\neq 0).
  • A pergunta implícita é: encontrar a solução geral y(x) (com constante de integração).

Passo 2

Vamos reescrever o lado direito de forma mais clara, dividindo cada termo do numerador por x^{2}:
\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = 1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}.
Note como apareceu a combinação \frac{y}{x} em todos os termos; isso sugere transformar a equação usando a razão y/x.

Passo 3

Introduzimos a substituição clássica para esse tipo de expressão:
\text{defina } v=\frac{y}{x} \quad\text{ou seja}\quad y=vx.
Agora precisamos expressar \frac{dy}{dx} em termos de v e x. Usando a regra do produto (derivada de y=v(x)\cdot x):
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Explicação rápida da regra do produto: se y=v(x)\cdot x, então \frac{d}{dx}(v x)=v\cdot\frac{d}{dx}(x)+x\cdot\frac{dv}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituímos \frac{dy}{dx} e a expressão do lado direito em termos de v na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = 1 + v + v^{2}.
Agora simplificamos cancelando v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx} = 1 + v^{2}.

Passo 5

A equação para v(x) é separável: podemos colocar todos os termos com v de um lado e os termos com x do outro:
\frac{dv}{1+v^{2}} = \frac{dx}{x}.
Explicação da técnica: “variáveis separáveis” significa manipular a equação para obter uma forma g(v)\,dv = h(x)\,dx, de modo que possamos integrar ambos os lados em suas respectivas variáveis.

Passo 6

Integramos ambos os lados. Lembre as integrais básicas:
  • \displaystyle \int \frac{dv}{1+v^{2}} = \arctan(v) + C_{1}.
  • \displaystyle \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_{2}.
Integrando:
\arctan(v) = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração resultante de combinar C_{1} e C_{2}.

Passo 7

Voltamos à variável original usando v=\frac{y}{x}:
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|x| + C.
Esta é a forma implícita da solução. Podemos também escrever a solução de forma explícita para y isolando:
\frac{y}{x} = \tan\big(\ln|x| + C\big)
e, multiplicando por x,
y = x\,\tan\big(\ln|x| + C\big).
Lembrete sobre domínio: x\neq 0 e a expressão usa a tangente, logo há singularidades onde \ln|x|+C = \frac{\pi}{2}+k\pi; isso corresponde a pontos onde a solução explodiria verticalmente — comportamento normal para famílias de soluções envolvendo \tan.

Passo 8

Breve verificação (opcional, mas útil para prova): derivando y=x\tan(\ln|x|+C) usando regra do produto e cadeia, obtém-se exatamente \frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}}. Isso confirma que a solução encontrada satisfaz a equação dada (a verificação é direta, aplicando derivação passo a passo).

Resposta

\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\ln|x|+C
\displaystyle y = x\,\tan\big(\ln|x| + C\big)

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