Resolver
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y{2}}{x{2}}
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y{2}}{x{2}}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Informações dadas e observações imediatas:
- A equação relaciona a derivada
com e . - Há um denominador
, portanto é um ponto a ser lembrado (a solução é válida para ). - A pergunta implícita é: encontrar a solução geral
(com constante de integração).
Passo 2
Vamos reescrever o lado direito de forma mais clara, dividindo cada termo do numerador por
:
Note como apareceu a combinação
em todos os termos; isso sugere transformar a equação usando a razão
.
Passo 3
Introduzimos a substituição clássica para esse tipo de expressão:
Agora precisamos expressar
em termos de
e
. Usando a regra do produto (derivada de
):
Explicação rápida da regra do produto: se
, então
.
Passo 4
Substituímos
e a expressão do lado direito em termos de
na equação original:
Agora simplificamos cancelando
dos dois lados:
Passo 5
A equação para
é separável: podemos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Explicação da técnica: “variáveis separáveis” significa manipular a equação para obter uma forma
, de modo que possamos integrar ambos os lados em suas respectivas variáveis.
Passo 6
Integramos ambos os lados. Lembre as integrais básicas:
-
. -
.
Integrando:
onde
é a constante de integração resultante de combinar
e
.
Passo 7
Voltamos à variável original usando
:
Esta é a forma implícita da solução. Podemos também escrever a solução de forma explícita para
isolando:
e, multiplicando por
,
Lembrete sobre domínio:
e a expressão usa a tangente, logo há singularidades onde
; isso corresponde a pontos onde a solução explodiria verticalmente — comportamento normal para famílias de soluções envolvendo
.
Passo 8
Breve verificação (opcional, mas útil para prova): derivando
usando regra do produto e cadeia, obtém-se exatamente
. Isso confirma que a solução encontrada satisfaz a equação dada (a verificação é direta, aplicando derivação passo a passo).