Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore gráficos das mesmas:
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: queremos resolver o problema de valor inicial
com as condições iniciais
O que o enunciado pede:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. - Elaborar (descrever) o gráfico da solução: comportamento geral, monotonicidade, concavidade, pontos importantes.
Passo 2
Como vamos resolver (escolha do método) — explicação didática:
A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes e termo não-homogêneo à direita que é um polinómio em . Um procedimento padrão é:
A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes e termo não-homogêneo à direita que é um polinómio em
- Resolver a equação homogênea associada para obter a solução geral homogênea
. Isso se faz via equação característica — aqui aparecem exponenciais. - Encontrar uma solução particular
da equação não-homogênea. Como o lado direito é um polinômio de grau (ou seja, ), usamos o método dos coeficientes indeterminados: supomos também como um polinômio de grau , , e determinamos substituindo na equação. - A solução geral é
. Em seguida aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes arbitrárias.
Esse método é mais simples aqui do que, por exemplo, variação de parâmetros, porque o termo não-homogêneo é um polinômio.
Passo 3
Resolver a equação homogênea — aula pequena sobre equação característica:
A homogênea é
A homogênea é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Essa é uma quadrática; vamos resolvê-la passo a passo. Usamos fórmula de Bhaskara:
Portanto as raízes são
Como as duas raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Encontrar uma solução particular
— explicação do método dos coeficientes indeterminados:
O termo à direita é , um polinômio de grau
. A regra prática diz: tente
como um polinômio do mesmo grau, então suponha
O termo à direita é
com
desconhecidos. Antes de usar essa forma, verificamos ressonância: se algum termo da forma
aparecesse já como solução da homogênea (por exemplo, se
fosse raiz), teríamos que multiplicar a tentativa por
. Aqui as soluções homogêneas são exponenciais
e
, não polinômios, então a tentativa
é adequada.
Calculemos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Organizamos em termos de potências de
:
Isso deve ser igual ao lado direito
. Igualando coeficientes de
e de termo constante:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
. Substituindo dá , logo .
Portanto
Passo 5
Solução geral da equação não-homogênea:
Somando homogênea e particular temos
Somando homogênea e particular temos
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para achar
Agora calcule
. Primeiro derive
:
Usando
e a condição
:
Temos o sistema linear
Subtraindo a primeira equação da segunda:
logo (C_2=-\tfrac{1}{2}]. Então
]
Passo 7
Escrevendo a solução particular com as constantes determinadas e fazendo uma verificação rápida:
Com e
obtemos
Com
Verificação curta (substituição simbólica para checar a equação): calculemos
Então
Agrupando termos exponenciais e constantes nota-se que os termos em
se cancelam, os termos em
se cancelam, as constantes também, restando apenas
. Logo a solução satisfaz a equação. Também
e
conferem.
Passo 8
Análise e instruções para desenhar o gráfico — o que observar e como traçar à mão:
-
Valor inicial e inclinação inicial:Comece o esboço no ponto
com tangente de inclinação . -
Monotonicidade (se está subindo ou descendo): calculeDefina
. Como e para todo , . Para verificar se pode ser zero, encontramos o mínimo de resolvendo Avaliandonesse ponto: logopara todo . Conclusão: é estritamente crescente em toda a reta real. Não há máximos ou mínimos locais. -
Concavidade e ponto de inflexão:A inflexão ocorre quando
, isto é em . Para temos (concavidade para baixo) e para temos (concavidade para cima). -
Comportamento assintótico:
- Para
: domina, então . O termo é insignificante frente a . - Para
: cresce muito, e como está multiplicado por temos . Logo a solução é ilimitada em ambos os sentidos, crescendo para à direita e decrescendo para à esquerda.
- Para
-
Pontos para ajudar o esboço (aproximações numéricas úteis):
-
. -
. - Inflection em
.
Com esses dados trace uma curva que passa por, cresce sempre, é ligeiramente côncava para baixo até e depois passa a ser côncava para cima, aumentando rapidamente para a direita.
-
Passo 9
Resumo final do raciocínio (curto): resolvemos a homogênea por equação característica, achamos uma solução particular por coeficientes indeterminados, aplicamos as condições iniciais para obter as constantes e analisamos o comportamento do gráfico através de
.