Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore gráficos das mesmas:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 t ; \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: queremos resolver o problema de valor inicial
y''+y'-2y=2t,
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
  • Elaborar (descrever) o gráfico da solução: comportamento geral, monotonicidade, concavidade, pontos importantes.

Passo 2

Como vamos resolver (escolha do método) — explicação didática:
A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes e termo não-homogêneo à direita que é um polinómio em t. Um procedimento padrão é:
  1. Resolver a equação homogênea associada para obter a solução geral homogênea y_h. Isso se faz via equação característica — aqui aparecem exponenciais.
  2. Encontrar uma solução particular y_p da equação não-homogênea. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 (ou seja, 2t), usamos o método dos coeficientes indeterminados: supomos y_p também como um polinômio de grau 1, y_p=at+b, e determinamos a,b substituindo na equação.
  3. A solução geral é y=y_h+y_p. Em seguida aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes arbitrárias.
    Esse método é mais simples aqui do que, por exemplo, variação de parâmetros, porque o termo não-homogêneo é um polinômio.

Passo 3

Resolver a equação homogênea — aula pequena sobre equação característica:
A homogênea é
y''+y'-2y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+r-2=0.
Essa é uma quadrática; vamos resolvê-la passo a passo. Usamos fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}.
Portanto as raízes são
r_1=1,\qquad r_2=-2.
Como as duas raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Encontrar uma solução particular y_p — explicação do método dos coeficientes indeterminados:
O termo à direita é 2t, um polinômio de grau 1. A regra prática diz: tente y_p como um polinômio do mesmo grau, então suponha
y_p(t)=a t + b,
com a,b desconhecidos. Antes de usar essa forma, verificamos ressonância: se algum termo da forma t^k aparecesse já como solução da homogênea (por exemplo, se r=0 fosse raiz), teríamos que multiplicar a tentativa por t. Aqui as soluções homogêneas são exponenciais e^{t} e e^{-2t}, não polinômios, então a tentativa at+b é adequada.
Calculemos as derivadas:
y_p'(t)=a,\qquad y_p''(t)=0.
Substituindo na equação original:
y_p''+y_p'-2y_p=0 + a - 2(at+b).
Organizamos em termos de potências de t:
a -2a t -2b = -2a t + (a-2b).
Isso deve ser igual ao lado direito 2t. Igualando coeficientes de t e de termo constante:
  • Coeficiente de t: -2a = 2 \Rightarrow a=-1.
  • Termo constante: a-2b = 0. Substituindo a=-1 -1-2b=0, logo b=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
y_p(t) = -t - \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Solução geral da equação não-homogênea:
Somando homogênea e particular temos
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-2t}-t-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para achar C_1\) e \(C_2\) — passo a passo: Calcule \(y(0)\) usando a expressão geral: \[y(0)=C_1+C_2-0-\tfrac{1}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_1+C_2=\tfrac{1}{2}.
Agora calcule y'(t). Primeiro derive y(t):
y'(t)=C_1 e^{t}-2C_2 e^{-2t}-1.
Usando t=0 e a condição y'(0)=1:
y'(0)=C_1-2C_2-1=1 \quad\Rightarrow\quad C_1-2C_2=2.
Temos o sistema linear
\begin{cases} C_1+C_2=\tfrac{1}{2},\\[4pt] C_1-2C_2=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_1-2C_2)-(C_1+C_2)=2-\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad -3C_2=\tfrac{3}{2},
logo (C_2=-\tfrac{1}{2}]. Então
C_1=\tfrac{1}{2}-C_2=\tfrac{1}{2}-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=1.]

Passo 7

Escrevendo a solução particular com as constantes determinadas e fazendo uma verificação rápida:
Com C_1=1 e C_2=-\tfrac{1}{2} obtemos
y(t)=e^{t}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}-t-\tfrac{1}{2}.
Verificação curta (substituição simbólica para checar a equação): calculemos
y'(t)=e^{t}+e^{-2t}-1,\qquad y''(t)=e^{t}-2e^{-2t}.
Então
y''+y'-2y=(e^{t}-2e^{-2t})+(e^{t}+e^{-2t}-1)-2\bigl(e^{t}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}-t-\tfrac{1}{2}\bigr).
Agrupando termos exponenciais e constantes nota-se que os termos em e^{t} se cancelam, os termos em e^{-2t} se cancelam, as constantes também, restando apenas 2t. Logo a solução satisfaz a equação. Também y(0)=0 e y'(0)=1 conferem.

Passo 8

Análise e instruções para desenhar o gráfico — o que observar e como traçar à mão:
  1. Valor inicial e inclinação inicial:
    y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
    Comece o esboço no ponto (0,0) com tangente de inclinação 1.
  2. Monotonicidade (se está subindo ou descendo): calcule
    y'(t)=e^{t}+e^{-2t}-1.
    Defina f(t)=e^{t}+e^{-2t}. Como e^{t}>0 e e^{-2t}>0 para todo t, f(t)>0. Para verificar se y'(t) pode ser zero, encontramos o mínimo de f resolvendo
    f'(t)=e^{t}-2e^{-2t}=0\quad\Rightarrow\quad e^{3t}=2\quad\Rightarrow\quad t=\tfrac{1}{3}\ln 2\approx 0{,}231.
    Avaliando f nesse ponto:
    f_{\min}=2^{1/3}+2^{-2/3}\approx 1{,}89>1,
    logo y'(t)=f(t)-1>0 para todo t. Conclusão: y é estritamente crescente em toda a reta real. Não há máximos ou mínimos locais.
  3. Concavidade e ponto de inflexão:
    y''(t)=e^{t}-2e^{-2t}.
    A inflexão ocorre quando y''(t)=0, isto é em t=\tfrac{1}{3}\ln 2\approx 0{,}231. Para t<0{,}231 temos y''(t)<0 (concavidade para baixo) e para t>0{,}231 temos y''(t)>0 (concavidade para cima).
  4. Comportamento assintótico:
    • Para t\to+\infty: e^{t} domina, então y(t)\sim e^{t}\to+\infty. O termo -t-\tfrac{1}{2} é insignificante frente a e^{t}.
    • Para t\to-\infty: e^{-2t} cresce muito, e como está multiplicado por -\tfrac{1}{2} temos y(t)\to -\infty. Logo a solução é ilimitada em ambos os sentidos, crescendo para +\infty à direita e decrescendo para -\infty à esquerda.
  5. Pontos para ajudar o esboço (aproximações numéricas úteis):
    • y(0)=0.
    • y(1)=e - \tfrac{1}{2}e^{-2} -1 -\tfrac{1}{2}\approx 2{,}718 -0{,}068 -1{,}5 \approx 1{,}15.
    • Inflection em t\approx 0{,}231.
      Com esses dados trace uma curva que passa por (0,0), cresce sempre, é ligeiramente côncava para baixo até t\approx0{,}231 e depois passa a ser côncava para cima, aumentando rapidamente para a direita.

Passo 9

Resumo final do raciocínio (curto): resolvemos a homogênea por equação característica, achamos uma solução particular por coeficientes indeterminados, aplicamos as condições iniciais para obter as constantes e analisamos o comportamento do gráfico através de y',y''.

Resposta

y(t)=e^{t}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}-t-\tfrac{1}{2}.

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