Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore gráficos das mesmas:
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea e as condições iniciais:
com
O que nos pedem:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais. - Elaborar (descrever) o gráfico dessa solução.
As informações relevantes são:
- A equação é linear de coeficientes constantes com termo não-homogêneo somando um polinômio
e uma exponencial . - Teremos uma solução geral dada pela soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular adequada ao lado direito.
Passo 2
Vamos encontrar a solução da equação homogênea associada. A homogênea é
Para resolver equações homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. Assumimos uma solução da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo,
Quando as raízes são
(aqui
), a solução geral da homogênea é combinação linear de cosseno e seno:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicação curta: raízes imag. geram oscilações com frequência
, amplitude determinada por
.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para o lado direito
. Como o ODE é linear, podemos buscar soluções particulares separadas para cada termo e somá-las (princípio da superposição):
onde
resolve para
e
para
.
Regra prática (método dos coeficientes indeterminados):
- Para um termo polinomial de grau
(aqui ), tentamos um polinômio de grau :
a menos que alguma parte coincida com a solução homogênea (aqui não coincide: homogênea é trigonométrica).
- Para um termo
, tentamos , salvo se for raiz da característica (aqui não é raiz, então forma simples funciona).
Vamos calcular cada parte.
Passo 4
Calculando
para o polinômio
. Assumimos
Derivadas:
Substituímos na equação:
Organizando por potências de
:
Queremos que isto seja igual a
(o termo polinomial do lado direito). Igualando coeficientes das potências de
:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
. Substituindo :
Portanto
Comentário didático: a parte constante
ajusta o termo independente que aparece ao aplicar
ao polinômio.
Passo 5
Calculando
para
. Assumimos
Derivadas:
Substituindo na equação:
Queremos
, logo
e
Assim
Passo 6
Somando as partes, obtemos uma solução particular completa:
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Passo 7
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeira condição:
.
Avaliar :
Avaliar
Usando
,
,
, obtemos
Logo
Colocando em denom. comum
:
Passo 8
Segunda condição:
. Primeiro calcule
.
Derivando a solução geral:
Agora
:
Usando
,
,
, fica
Igualando a condição
:
Portanto
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Breve interpretação para desenhar o gráfico:
- Há uma parte oscilatória
que é uma função periódica de frequência angular (período ). Ela é limitada (amplitude fixa). - Há uma componente polinomial
que cresce como (abertura para cima). - Há uma componente exponencial
que domina para (crescimento exponencial). - Assim o gráfico é uma oscilação (da parte trigonométrica) em torno de uma curva que cresce (combinação do polinômio e, mais importante para grandes
, da exponencial). Para negativo grande, e o termo polinomial domina o comportamento para grandes magnitude negativa (mas reduzido comparado à exponencial positiva). - Pontos iniciais:
(ok) e inclinação inicial (a inclinação positiva inicial mostra subida no começo).
Como instrução prática para desenhar:
- Plote a curva de tendência
. - Sobreponha uma oscilação de amplitude aproximada
e frequência centrada na curva . - Observe que para
a exponencial já causa crescimento rápido; para próximo de zero, tanto polinômio quanto exponencial contribuem.