Duas placas infinitas separadas por uma distância d possuem densidades superfficiais de cargas +sigma e -sigma. Determine o campo elétrico entre as duas placas, em d / 2.

Passo 1

O enunciado descreve duas placas metálicas planas, infinitas e paralelas, separadas por uma distância d, com densidades superficiais de carga +sigma e -sigma. Precisamos encontrar o campo elétrico em um ponto situado exatamente no meio, ou seja, a uma distância d/2 de cada placa. O conteúdo usado será o resultado do campo de uma lâmina infinita e o princípio de superposição de campos.

Passo 2

Vamos lembrar o campo elétrico gerado por uma única lâmina infinita com densidade superficial de carga sigma. Pela Lei de Gauss, tomando um cilindro gaussiano que atravessa a lâmina, obtém-se
Eplaca = sigma2,varepsilon0
onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo. Esse campo é constante em magnitude e aponta para fora da lâmina se sigma>0 e para dentro se sigma<0.

Passo 3

No interior do capacitor formado pelas duas placas, o campo de cada placa aponta do lado positivo para o lado negativo. Mais precisamente:
  • A placa com +sigma gera um campo de magnitude sigma2,varepsilon0 afastando-se dela.
  • A placa com -sigma gera um campo de magnitude sigma2,varepsilon0 apontando em sua direção (isto é, também do positivo para o negativo).
    Como esses dois vetores de campo têm mesmo sentido entre as placas, pelo princípio de superposição seu módulo soma, ficando
Etotal = sigma2,varepsilon0 + sigma2,varepsilon0 = sigmavarepsilon0

Passo 4

O campo entre as placas é uniforme, ou seja, vale o mesmo em qualquer ponto entre elas. Logo, no ponto a d/2 de cada placa temos
El(d/2r) = sigmavarepsilon0;n,
onde n é o versor que aponta da placa carregada positivamente para a que está carregada negativamente.

Resposta

El(d/2r) = sigmavarepsilon0;n

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