Seja um anel de raio R e densidade de carga linear lambda. Calcule o campo elétrico E a uma distância a do centro do anel, ao longo do eixo do anel, onde a ll R.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico vec E ao longo do eixo de um anel de raio R e densidade linear de carga lambda, a uma distância a do centro, no regime all R. Vamos usar a lei de Coulomb para um elemento de carga e explorar a simetria do anel para obter a componente axial, depois aproximar para all R.

Passo 2

Escolhemos o eixo z passando pelo centro do anel, de modo que o ponto onde queremos vec E fica em z=a. Seja um elemento de ângulo dtheta no anel; ele contém carga
dQ = lambda,R,dtheta
A distância desse elemento ao ponto é
r = raizR^2 + a^2
e pela lei de Coulomb o módulo de dvec E é
dE = 14pivarepsilon0,dQr^2
Só a componente ao longo de z sobrevive, com cosalpha = a/r, logo
dEz = dEcosalpha = 14pivarepsilon0,dQr^2,ar = 14pivarepsilon0,dQ,a(R^2 + a^2)^3/2

Passo 3

Integrando em todo o anel ( theta de 0 a 2pi) obtemos
Ez = 14pivarepsilon0,a(R^2 + a^2)^3/2 integral0^2pilambda,R,dtheta = 14pivarepsilon0,lambda,2pi R,a(R^2 + a^2)^3/2
Portanto, em termos da carga total Q=lambda,2pi R,
Ez = 14pivarepsilon0,Q,a(R^2 + a^2)^3/2
A direção é radial no eixo, ou seja, hat z.

Passo 4

Agora fazemos a aproximação para all R. Note que
(R^2 + a^2)^3/2 = R^3l(1 + a^2R^2r)^3/2 approx R^3 (pois a^2/R^2ll1)
Logo,
Ez approx 14pivarepsilon0,lambda,2pi R,aR^3 = 14pivarepsilon0,2pilambda,aR^2

Passo 5

Podemos simplificar 2pi/(4pi)=1/2, chegando a
Ez approx lambda,a2varepsilon0,R^2
no sentido do eixo z (para carga positiva aponta para fora do anel, se a>0).

Resposta

boxedvec E approx lambda,a2varepsilon0,R^2,hat z, (all R)

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