Duas placas de plástico muito grandes e não condutoras, cada uma com espessura de \ell, carregam densidades de carga uniforme \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} e \sigma_{4} sobre suas superfícies, com \sigma_{1}>0, \sigma_{2}<0, \sigma_{3}>0 e \sigma_{4}<0. O módulo do campo elétrico à direita da placa com densidades \sigma_{3} e \sigma_{4} vale E_{0}. Use a lei de Gauss para determinar o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico nos seguintes pontos:
(b) ponto \mathbf{B}, a uma distância d_{2} da superfície interna da placa à direita;

Passo 1

O enunciado descreve duas placas plásticas não condutoras, muito grandes e paralelas, cada uma de espessura \ell, com densidades de carga nas quatro superfícies, de dentro para fora:
– Primeira placa (à esquerda): \sigma_{1} (face externa) e \sigma_{2} (face interna), com \sigma_{1}>0, \sigma_{2}<0.
– Segunda placa (à direita): \sigma_{3} (face interna) e \sigma_{4} (face externa), com \sigma_{3}>0, \sigma_{4}<0.
Nos dizem que, à direita da segunda placa, o campo elétrico tem módulo E_{0}.
O ponto \mathbf B está no “meio”, ou seja, na região entre a face interna da primeira placa ( \sigma_{2}) e a face interna da segunda ( \sigma_{3}).
Queremos encontrar o módulo, a direção e o sentido de \mathbf E em \mathbf B, usando a Lei de Gauss e superposição de campos de lâminas infinitas.

Passo 2

Lâmina infinita com densidade de carga superf. \sigma produz um campo uniforme de módulo
\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_{0}}
em cada lado, apontando “para fora” se \sigma>0 e “para dentro” se \sigma<0.
Escolhemos o eixo x horizontal, positivo para a direita.

Passo 3

Identificamos as quatro lâminas (superfícies carregadas) e o lado em que o ponto \mathbf B se encontra em relação a cada uma:
  1. Lâmina \sigma_{1}: \mathbf B está à direita dela.
  2. Lâmina \sigma_{2}: \mathbf B está à direita dela.
  3. Lâmina \sigma_{3}: \mathbf B está à esquerda dela.
  4. Lâmina \sigma_{4}: \mathbf B está à esquerda dela.
Para cada uma, o campo em \mathbf B vale
– De \sigma_{1}>0, à direita: campo de módulo \sigma_{1}/(2\varepsilon_{0}) para a direita.
– De \sigma_{2}<0, à direita: campo de módulo |\sigma_{2}|/(2\varepsilon_{0}) apontando em direção à lâmina, ou seja, para a esquerda; matematicamente isso é \sigma_{2}/(2\varepsilon_{0}).
– De \sigma_{3}>0, à esquerda: campo de módulo \sigma_{3}/(2\varepsilon_{0}) apontando para fora da lâmina, logo para a esquerda, ou seja, -\sigma_{3}/(2\varepsilon_{0}).
– De \sigma_{4}<0, à esquerda: campo de módulo |\sigma_{4}|/(2\varepsilon_{0}) apontando em direção à lâmina (para a direita), ou seja, -\sigma_{4}/(2\varepsilon_{0}).

Passo 4

Somando vetorialmente (positivos para a direita, negativos para a esquerda), obtemos
E_{B} =\frac{1}{2\varepsilon_{0}}\Bigl(\sigma_{1}+\sigma_{2}-\sigma_{3}-\sigma_{4}\Bigr)
em módulo e sinal. Se quisermos usar o dado E_{0}, note que, à direita da segunda placa, o campo é a soma das quatro lâminas,
E_{0} =\frac{1}{2\varepsilon_{0}}\bigl(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}+\sigma_{4}\bigr).
Isolando \sigma_{1}+\sigma_{2} e substituindo, outra forma útil é
E_{B} =E_{0}\;-\;\frac{\sigma_{3}+\sigma_{4}}{\varepsilon_{0}}.

Resposta

O campo em \mathbf B tem módulo
\bigl|E_{B}\bigr| =\Biggl|\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}-\sigma_{3}-\sigma_{4}}{2\varepsilon_{0}}\Biggr|
direção perpendicular às placas (eixo x), e sentido para a direita se
\sigma_{1}+\sigma_{2}>\sigma_{3}+\sigma_{4}, ou para a esquerda no caso contrário.
Em função de E_{0}:
E_{B} =E_{0}-\frac{\sigma_{3}+\sigma_{4}}{\varepsilon_{0}},
com o mesmo critério de sinal para o sentido.

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