x^{2}+y^{2}+2 x+4 y+p=0 é equação de uma circunferência, desde que…

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^{2}+y^{2}+2x+4y+p=0
e pede a condição para que isso represente uma circunferência. O conteúdo aqui é completar o quadrado em x e y e exigir raio real positivo.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x e em y. Para isso, agrupamos termos:
x^{2}+2x \quad\text{e}\quad y^{2}+4y.
Em x:
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1.
Em y:
y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4.

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação original:
(x+1)^{2}-1 \;+\;(y+2)^{2}-4 \;+\;p \;=\;0.
Reunindo constantes:
(x+1)^{2} + (y+2)^{2} \;+\;(p - 5)\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{2} + (y+2)^{2} \;=\;5 - p.

Passo 4

Para que isso seja uma circunferência de raio real e não degenerada, precisamos que o raio ao quadrado seja positivo:
5 - p > 0 \quad\Longrightarrow\quad p < 5.

Resposta

A equação é de uma circunferência desde que p<5.

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