Questão 1. (5.0 pontos) Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 e^{t}, \quad t \in \mathbb{R} .
Obtenha:
a. (2.0 pontos) A solução geral da equação diferencial homogênea associada cor
b. (2.0 pontos) Uma solução particular de (1);
c. (1.0 ponto) A solução do problema de valor inicial envolvendo a equação condiçōes iniciais: y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 e y^{\prime \prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=2e^{t},
e pede:
a. a solução geral da homogênea associada;
b. uma solução particular;
c. a solução do IVP com y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=2.
Para a parte homogênea usamos o polinômio característico, e para a particular aplicamos o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico
r^3 - r^2 + r - 1 = 0.
Fatorando por agrupamento obtemos
r^3 - r^2 + r - 1 = (r-1)(r^2+1)=0,
logo as raízes são r=1 e r=\pm i. Pela teoria, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1e^{t}+C_2\cos t + C_3\sin t.

Passo 3

Para uma solução particular tentamos
y_p(t)=A\,t e^{t},
pois e^t é raiz simples do característico. Calculamos as derivadas:
y_p'=A(1+t)e^{t},\quad y_p''=A(2+t)e^{t},\quad y_p'''=A(3+t)e^{t}.
Logo
y_p'''-y_p''+y_p'-y_p =A e^{t}\bigl[(3+t)-(2+t)+(1+t)-t\bigr] =2A e^{t}.
Para igualar a 2e^t precisamos de 2A e^t=2e^t, ou seja A=1. Assim
y_p(t)=t e^{t}.

Passo 4

A solução geral do ODE completo fica
y(t)=C_1e^{t}+C_2\cos t + C_3\sin t + t e^{t}.
Para impor as condições iniciais, calculamos
y'(t)=C_1e^{t}-C_2\sin t + C_3\cos t + (t+1)e^{t},
y''(t)=C_1e^{t}-C_2\cos t - C_3\sin t + (t+2)e^{t}.
Em t=0 vêm
y(0)=C_1 + C_2, \quad y'(0)=C_1 + C_3 +1, \quad y''(0)=C_1 - C_2 +2.

Passo 5

As condições y(0)=0\), \(y'(0)=1\), \(y''(0)=2\) geram o sistema \[\begin{cases} C_1 + C_2 = 0,\\\ C_1 + C_3 + 1 = 1,\\\ C_1 - C_2 + 2 = 2. \end{cases}
Isso é equivalente a
\begin{cases} C_1 + C_2 = 0,\\\ C_1 + C_3 = 0,\\\ C_1 - C_2 = 0. \end{cases}
Somando a primeira e a terceira equação dá 2C_1=0\Rightarrow C_1=0\]. Daí \(C_2=0 e C_3=0.

Resposta

a. A solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1e^{t}+C_2\cos t + C_3\sin t.
b. Uma solução particular é
y_p(t)=t e^{t}.
c. A solução do IVP é
y(t)=t e^{t}.

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