Questão 1. (5.0 pontos) Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 e^{t}, \quad t \in \mathbb{R} .
Obtenha:
a. (2.0 pontos) A solução geral da equação diferencial homogênea associada cor
b. (2.0 pontos) Uma solução particular de (1);
c. (1.0 ponto) A solução do problema de valor inicial envolvendo a equação condiçōes iniciais: y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 e y^{\prime \prime}(0)=2.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
e pede:
a. a solução geral da homogênea associada;
b. uma solução particular;
c. a solução do IVP com y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=2.
Para a parte homogênea usamos o polinômio característico, e para a particular aplicamos o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico
r^3 - r^2 + r - 1 = 0.
Fatorando por agrupamento obtemos
r^3 - r^2 + r - 1 = (r-1)(r^2+1)=0,
logo as raízes são r=1 e r=\pm i. Pela teoria, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1e^{t}+C_2\cos t + C_3\sin t.
Passo 3
Para uma solução particular tentamos
y_p(t)=A\,t e^{t},
pois e^t é raiz simples do característico. Calculamos as derivadas: