A duração média em foras de trabalho de 5 tratores foi de 8.750 horas. Sabe-se que a duração dos tratores dessa marca é normal com variância de 3.025 horas. Ao nível de 3% Testar:
\begin{aligned} & \text { a) }\left\{\begin{array}{l} H_{o}: \mu=8.700 \\\ H_{1}: \mu \neq 8.700 \end{array}\right. \\\ & \text { b) }\left\{\begin{array}{l} H_{o}: \mu=8.700 \\\ H_{1}: \mu>8.700 \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=5\) tratores com média amostral \(\bar x=8\,750\) horas. Sabe-se que a duração da marca é normalmente distribuída com variância populacional \(\sigma^2=3\,025\) hora\(s^{2}\). Vamos testar, ao nível de significância \(\alpha=0{,}03\), as hipóteses a) \[\begin{cases} H_0:\mu=8\,700,\\\ H_1:\mu\neq8\,700, \end{cases}
b)
\begin{cases} H_0:\mu=8\,700,\\\ H_1:\mu>8\,700. \end{cases}
Como \sigma\] é conhecido, usaremos o teste \(Z.

Passo 2

O estatístico de teste é
Z \;=\;\frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
onde \mu_0=8\,700 e \sigma=\sqrt{3\,025}=55.

Passo 3

Calculando Z:
Z = \frac{8\,750 - 8\,700}{55/\sqrt{5}} = \frac{50}{55/2{,}236} \approx \frac{50}{24{,}62} \approx 2{,}03.

Passo 4

Para o teste bilateral (a), o nível é \alpha=0{,}03, logo cada cauda tem área \alpha/2=0{,}015. O valor crítico é
z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}985}\approx2{,}17.
Rejeitamos H_0 se \lvert Z\rvert>2{,}17.

Passo 5

Como \lvert2{,}03\rvert<2{,}17, não rejeitamos H_0 no teste bilateral. Não há evidência para concluir \mu\neq8\,700.

Passo 6

Para o teste unilateral à direita (b), o nível é \alpha=0{,}03. O valor crítico é
z_{1-\alpha}=z_{0{,}97}\approx1{,}88.
Rejeitamos H_0 se Z>1{,}88.

Passo 7

Como 2{,}03>1{,}88, rejeitamos H_0 no teste unilateral. Há evidência para concluir \mu>8\,700.

Resposta

a) Não rejeita H_0; b) Rejeita H_0.

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