Para as duas questões abaixo, faça a decomposição L L^{T} da matriz \left[\begin{array}{ccc}16 & -4 & 32 \\\\ -4 & 5 & -4 \\\\ 32 & -4 & 77\end{array}\right].
Questão 6 Qual a norma infinita de \left[\begin{array}{lll}l_{11} & l_{21} & l_{31}\end{array}\right]^{T} ?
(A) 6
(B) 10
D 7
(E) 9

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz simétrica
A=\begin{pmatrix}16 & -4 & 32 \\\\ -4 & 5 & -4 \\\\ 32 & -4 & 77\end{pmatrix}
e pede a decomposição \,L L^{T}\, (Cholesky) dessa matriz. Em particular, a pergunta da Questão 6 é: qual a norma infinita do vetor
\begin{pmatrix}l_{11}\\[4pt] l_{21}\\[4pt] l_{31}\end{pmatrix}?
As alternativas fornecidas são: (A) 6, (B) 10, (D) 7, (E) 9.
Aqui estão as informações relevantes que usaremos: a matriz A é simétrica (portanto a decomposição L L^{T} é aplicável se A for definida positiva) e os elementos l_{i j} são os elementos da matriz triangular inferior L que queremos encontrar. Não começarei a resolver ainda, apenas enumerei o que o problema pede e os dados dados.]

Passo 2

Breve lembrete prático sobre como fazer a decomposição de Cholesky (passo a passo, sem pular etapas): se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, \qquad L=\begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0\\[4pt] l_{21} & l_{22} & 0\\[4pt] l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix},
então A=L L^{T} gera as fórmulas (as que usaremos em ordem):
l_{11}=\sqrt{a_{11}},
l_{i1}=\frac{a_{i1}}{l_{11}}\quad\text{para }i=2,3,
l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}},
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}l_{21}}{l_{22}},
l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^{2}-l_{32}^{2}}.
Aqui cada símbolo significa: a_{ij} é o elemento dado da matriz A na linha i e coluna j; l_{ij} é o elemento a encontrar na posição (i,j) de L. Essas fórmulas vêm de igualar A à multiplicação L L^{T} elemento a elemento — se quiser eu mostro essa igualdade componente a componente, mas agora vou aplicar as fórmulas diretamente com os valores da nossa matriz.]

Passo 3

Calcular l_{11} pela fórmula \,l_{11}=\sqrt{a_{11}}\,. Aqui a_{11}=16, logo
l_{11}=\sqrt{16}=4.

Passo 4

Calcular l_{21} pela fórmula \,l_{21}=\dfrac{a_{21}}{l_{11}}\,. Aqui a_{21}=-4 e l_{11}=4, então
l_{21}=\frac{-4}{4}=-1.

Passo 5

Calcular l_{31} pela fórmula \,l_{31}=\dfrac{a_{31}}{l_{11}}\,. Aqui a_{31}=32 e l_{11}=4, então
l_{31}=\frac{32}{4}=8.
Portanto a primeira coluna de L é
\begin{pmatrix}l_{11}\\[4pt] l_{21}\\[4pt] l_{31}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]8\end{pmatrix}.]

Passo 6

(Verificação e continuidade — útil para confirmar que a decomposição é consistente.) Calculo l_{22} por
l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}}=\sqrt{5-(-1)^{2}}=\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2.
Em seguida
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}l_{21}}{l_{22}}=\frac{-4-(8)(-1)}{2}=\frac{-4+8}{2}=\frac{4}{2}=2.
E finalmente
l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^{2}-l_{32}^{2}}=\sqrt{77-64-4}=\sqrt{9}=3.
Assim
L=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0\\[4pt]-1 & 2 & 0\\[4pt]8 & 2 & 3\end{pmatrix},
e podemos verificar que L L^{T}=A. Isso confirma que os valores encontrados para l_{11},l_{21},l_{31} estão corretos.]

Passo 7

Definição da norma infinita para vetores (para você lembrar na prova): para um vetor coluna
v=\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\\[4pt] v_{3}\end{pmatrix},
a norma infinita \|v\|_{\infty} é
\|v\|_{\infty}=\max\{|v_{1}|,|v_{2}|,|v_{3}|\}.
Ou seja, pego o valor absoluto de cada componente e escolho o maior. É fácil de calcular sem calculadora.]

Passo 8

Aplicando isso ao vetor
\begin{pmatrix}l_{11}\\[4pt] l_{21}\\[4pt] l_{31}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]8\end{pmatrix},
temos os valores absolutos |4|=4, |-1|=1, |8|=8. O máximo desses é 8. Logo
\left\|\begin{pmatrix}l_{11}\\[4pt] l_{21}\\[4pt] l_{31}\end{pmatrix}\right\|_{\infty}=8.]

Passo 9

Observação final importante: o valor correto da norma infinita é \,8. Ele não aparece nas alternativas dadas (6,10,7,9), portanto nenhuma das alternativas listadas coincide com o valor correto calculado.

Resposta

8

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