Para as duas questões abaixo, faça a decomposição L L^{T} da matriz \left[\begin{array}{ccc}16 & -4 & 32 \\\\ -4 & 5 & -4 \\\\ 32 & -4 & 77\end{array}\right].
Questão 6 Qual a norma infinita de \left[\begin{array}{lll}l_{11} & l_{21} & l_{31}\end{array}\right]^{T} ?
(A) 6
(B) 10
D 7
(E) 9
As alternativas fornecidas são: (A) 6, (B) 10, (D) 7, (E) 9.
Aqui estão as informações relevantes que usaremos: a matriz A é simétrica (portanto a decomposição L L^{T} é aplicável se A for definida positiva) e os elementos l_{i j} são os elementos da matriz triangular inferior L que queremos encontrar. Não começarei a resolver ainda, apenas enumerei o que o problema pede e os dados dados.]
Passo 2
Breve lembrete prático sobre como fazer a decomposição de Cholesky (passo a passo, sem pular etapas): se
Aqui cada símbolo significa: a_{ij} é o elemento dado da matriz A na linha i e coluna j; l_{ij} é o elemento a encontrar na posição (i,j) de L. Essas fórmulas vêm de igualar A à multiplicação L L^{T} elemento a elemento — se quiser eu mostro essa igualdade componente a componente, mas agora vou aplicar as fórmulas diretamente com os valores da nossa matriz.]
Passo 3
Calcular l_{11} pela fórmula \,l_{11}=\sqrt{a_{11}}\,. Aqui a_{11}=16, logo
l_{11}=\sqrt{16}=4.
Passo 4
Calcular l_{21} pela fórmula \,l_{21}=\dfrac{a_{21}}{l_{11}}\,. Aqui a_{21}=-4 e l_{11}=4, então
l_{21}=\frac{-4}{4}=-1.
Passo 5
Calcular l_{31} pela fórmula \,l_{31}=\dfrac{a_{31}}{l_{11}}\,. Aqui a_{31}=32 e l_{11}=4, então
Observação final importante: o valor correto da norma infinita é \,8. Ele não aparece nas alternativas dadas (6,10,7,9), portanto nenhuma das alternativas listadas coincide com o valor correto calculado.