Para as duas questões a seguir, escolha alguns dos pontos abaixo para calcular com o menor erro de interpolação P_{2}(24), a avaliaçio do polinómio de Newton de gran 2 na abscissa 24:
x 5 7 11 13 17 19 23 29 31
y 0 1 1 2 3 5 8 13 21
Questão
2 Quanto vale P_{2}(24) ?
(A) 9,3749
(B) 8,7915
(C) 6,3749
(D) 9,2501
[E] 6.2500

Passo 1

O enunciado pede para calcular com o menor erro possível o valor do polinómio interpolador de grau 2 P_{2} na abscissa 24. Os dados fornecidos são os pares (x,y) na tabela:
\begin{array}{c|ccccccccc} x & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 \\\ \hline y & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 \end{array}
Portanto a pergunta explícita é: quanto vale P_{2}(24), onde P_{2} é o polinómio de Newton de grau 2 interpolando três pontos escolhidos dentre os acima, de modo a minimizar o erro de interpolação.

Passo 2

Escolha dos três pontos: para minimizar o erro de interpolação em x=24 convém escolher os nós cujas abscissas estejam mais próximas de 24. Isso porque o termo de resto da interpolação possui um fator (x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}), logo quanto menores as distâncias |24-x_{i}| menos contribuição potencial do erro. Olhando a tabela, as abscissas mais próximas de 24 são 23 (distância 1), 19 (distância 5) e 29 (distância 5). Assim escolhemos os três pontos (19,5), (23,8) e (29,13). (Escolher 23,29,31 daria um ponto mais distante que 19, portanto nossa escolha é mais equilibrada em torno de 24.)

Passo 3

Método: forma de Newton com diferenças divididas para grau 2. Vou explicar o que vamos usar.
  • Dados três nós x_{0},x_{1},x_{2} com valores f(x_{0}),f(x_{1}),f(x_{2}), o polinómio de Newton de grau 2 fica
P_{2}(x)=f(x_{0}) + f[x_{1},x_{0}](x-x_{0}) + f[x_{2},x_{1},x_{0}](x-x_{0})(x-x_{1}).
  • Aqui f[x_{1},x_{0}] é a diferença dividida de primeira ordem:
f[x_{1},x_{0}]=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.
  • E f[x_{2},x_{1},x_{0}] é a diferença dividida de segunda ordem:
f[x_{2},x_{1},x_{0}]=\frac{f[x_{2},x_{1}]-f[x_{1},x_{0}]}{x_{2}-x_{0}}.
Esses valores são calculáveis apenas com subtrações e divisões; vou mostrar passo a passo com números racionais, para termos exatidão.

Passo 4

Aplicando aos pontos escolhidos x_{0}=19, x_{1}=23, x_{2}=29 com f(19)=5, f(23)=8, f(29)=13.
Calcule as diferenças divididas de primeira ordem:
f[23,19]=\frac{f(23)-f(19)}{23-19}=\frac{8-5}{4}=\frac{3}{4}.
f[29,23]=\frac{f(29)-f(23)}{29-23}=\frac{13-8}{6}=\frac{5}{6}.

Passo 5

Calcule a diferença dividida de segunda ordem:
f[29,23,19]=\frac{f[29,23]-f[23,19]}{29-19} =\frac{\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}}{10}.
Agora faça as operações racionais com cuidado: \dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12} e \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}, então
\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{12}.
Dividindo por 10 temos
f[29,23,19]=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{120}.

Passo 6

Escrevendo o polinómio de Newton com esses coeficientes:
P_{2}(x)=f(19) + f[23,19](x-19) + f[29,23,19](x-19)(x-23).
Substituindo os números:
P_{2}(x)=5 + \frac{3}{4}(x-19) + \frac{1}{120}(x-19)(x-23).
Agora avaliamos em x=24. Calcule os fatores:
24-19=5,\qquad 24-23=1.
Substituindo:
P_{2}(24)=5 + \frac{3}{4}\cdot 5 + \frac{1}{120}\cdot 5\cdot 1.
Calcule cada termo com frações exatas:
\frac{3}{4}\cdot 5=\frac{15}{4},\qquad \frac{1}{120}\cdot 5=\frac{5}{120}=\frac{1}{24}.
Somando com denominador comum 24:
5=\frac{120}{24},\qquad \frac{15}{4}=\frac{90}{24},\qquad \frac{1}{24}=\frac{1}{24}.
Portanto
P_{2}(24)=\frac{120+90+1}{24}=\frac{211}{24}.
Em forma decimal periódica isso é 8{,}791666\ldots (ou 8{,}79\overline{16}).

Passo 7

Interpretação prática: escolhemos os nós 19,23,29 por estarem próximos de 24; os cálculos com diferenças divididas deram coeficientes racionais simples e o valor exato de P_{2}(24) é \dfrac{211}{24}, que corresponde numericamente ao valor mais próximo entre as opções dadas, a opção (B).

Resposta

\dfrac{211}{24}

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