Para as duas questões a seguir, escolha alguns dos pontos abaixo para calcular com o menor erro de interpolação P_{2}(24), a avaliaçio do polinómio de Newton de gran 2 na abscissa 24:
O enunciado pede para calcular com o menor erro possível o valor do polinómio interpolador de grau 2 P_{2} na abscissa 24. Os dados fornecidos são os pares (x,y) na tabela:
Portanto a pergunta explícita é: quanto vale P_{2}(24), onde P_{2} é o polinómio de Newton de grau 2 interpolando três pontos escolhidos dentre os acima, de modo a minimizar o erro de interpolação.
Passo 2
Escolha dos três pontos: para minimizar o erro de interpolação em x=24 convém escolher os nós cujas abscissas estejam mais próximas de 24. Isso porque o termo de resto da interpolação possui um fator (x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}), logo quanto menores as distâncias |24-x_{i}| menos contribuição potencial do erro. Olhando a tabela, as abscissas mais próximas de 24 são 23 (distância 1), 19 (distância 5) e 29 (distância 5). Assim escolhemos os três pontos (19,5), (23,8) e (29,13). (Escolher 23,29,31 daria um ponto mais distante que 19, portanto nossa escolha é mais equilibrada em torno de 24.)
Passo 3
Método: forma de Newton com diferenças divididas para grau 2. Vou explicar o que vamos usar.
Dados três nós x_{0},x_{1},x_{2} com valores f(x_{0}),f(x_{1}),f(x_{2}), o polinómio de Newton de grau 2 fica
Em forma decimal periódica isso é 8{,}791666\ldots (ou 8{,}79\overline{16}).
Passo 7
Interpretação prática: escolhemos os nós 19,23,29 por estarem próximos de 24; os cálculos com diferenças divididas deram coeficientes racionais simples e o valor exato de P_{2}(24) é \dfrac{211}{24}, que corresponde numericamente ao valor mais próximo entre as opções dadas, a opção (B).