Questāo 10 Sobre ajuste de curvas é falso afirmar que:
A) É possivel que o coeficiente de determinaçāo r^{2}=1 e a variància residual \sigma^{2} seja indefinida.
B) A interpolaçāo permite calcular pontos inexistentes em uma tabela.A regressão permite estimar parâmetros de um modelo semideterminístico e prever um valor dado por esse modelo.
C) Os parâmetros b_{0}, b_{1} e b_{2} do modelo y=e^{b_{0}+b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}} podem ser estimados via regressāo linear múltipla após linearização do modelo.
D) Dados quatro pontos de abscissas distintas,o polinômio interpolador cúbico será idēntico ao polinômio de regressão de mesmo grau.
E) A reta de quadrados mínimos u(x)=b_{0}+b_{1} x torna mínimo o desvio D=\sum\left(y_{1}-u_{1}\right)^{2} .Consequentemente, и nunca poderá passar por nenhum dos pontos dados.

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das alternativas A), B), C), D), E) sobre ajuste de curvas é falsa.
Lista explícita das alternativas (copiadas do enunciado):
A) É possível que o coeficiente de determinação r^{2}=1 e a variância residual \sigma^{2} seja indefinida.
B) A interpolação permite calcular pontos inexistentes em uma tabela. A regressão permite estimar parâmetros de um modelo semideterminístico e prever um valor dado por esse modelo.
C) Os parâmetros b_{0}, b_{1} e b_{2} do modelo y=e^{b_{0}+b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}} podem ser estimados via regressão linear múltipla após linearização do modelo.
D) Dados quatro pontos de abscissas distintas, o polinômio interpolador cúbico será idêntico ao polinômio de regressão de mesmo grau.
E) A reta de quadrados mínimos u(x)=b_{0}+b_{1} x torna mínimo o desvio \displaystyle D=\sum\left(y_{i}-u_{i}\right)^{2}. Consequentemente, ela nunca poderá passar por nenhum dos pontos dados.

Passo 2

Vamos fixar alguns conceitos e fórmulas que usarei nas justificativas (explicando bem cada símbolo):
  • Soma dos quadrados dos resíduos (residual sum of squares): \displaystyle SS_{res}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}, onde y_i são observações e \hat{y}_i são valores ajustados pelo modelo.
  • Soma total dos quadrados: \displaystyle SS_{tot}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}, com \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i.
  • Coeficiente de determinação: \displaystyle r^{2}=1-\frac{SS_{res}}{SS_{tot}}. Mede fração da variabilidade explicada pelo modelo.
  • Estimador da variância residual (estimador usual não-viesado): \displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{SS_{res}}{n-p}, onde p é o número de parâmetros ajustados (por exemplo, para reta p=2). Se n-p=0 a expressão fica indefinida.
  • Interpolação polinomial de grau m em n pontos: se n=m+1 e abscissas distintas, existe um único polinômio de grau \le m que passa por todos os pontos (teorema da unicidade do polinômio interpolador).
  • Regressão por mínimos quadrados de um polinômio de grau m ajustado a n pontos resolve equações normais; se n=m+1 (o número de pontos igual ao de parâmetros), a solução por mínimos quadrados coincide com a interpolação (o sistema é determinado e a soma dos resíduos pode ser nula).

Passo 3

A afirmação A: “É possível que r^{2}=1 e a variância residual \sigma^{2} seja indefinida.”
  • Se r^{2}=1 então SS_{res}=0 (ajuste perfeito).
  • O estimador usual \hat{\sigma}^{2}=\dfrac{SS_{res}}{n-p} tem numerador zero, mas pode ser indefinido se o denominador n-p=0. Isso ocorre quando o número de observações n é igual ao número de parâmetros p (por exemplo, ajustar um polinômio de grau 3 (quatro parâmetros) a exatamente quatro pontos). Nesse caso o ajuste é perfeito ( SS_{res}=0) e a divisão por n-p=0 não é definida.
  • Conclusão: A situação descrita é possível — a afirmação A é verdadeira. (Observação pedagógica: se quisermos um “estimador” numérico da variância podemos usar outra convenção, por ex. dividir por n, mas o estimador não-viesado padrão usa n-p e aí pode ficar indefinido.)

Passo 4

A afirmação B: “A interpolação permite calcular pontos inexistentes em uma tabela. A regressão permite estimar parâmetros de um modelo semideterminístico e prever um valor dado por esse modelo.”
  • Interpolação: por definição, dado um conjunto de pontos, constrói-se uma função (por exemplo um polinômio interpolador) que passa exatamente por esses pontos; com essa função podemos calcular valores em abscissas que não estavam na tabela (interpolação entre pontos e, com cuidado, até extrapolação). Portanto a primeira frase está correta.
  • Regressão: é o procedimento de estimar parâmetros de um modelo quando os dados contêm ruído/variabilidade (modelo semideterminístico) e usar esse modelo para previsão. Novamente a frase está correta.
  • Conclusão: B é verdadeira.

Passo 5

A afirmação C: “Os parâmetros b_{0}, b_{1} e b_{2} do modelo y=e^{b_{0}+b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}} podem ser estimados via regressão linear múltipla após linearização do modelo.”
  • Se y>0, podemos aplicar logaritmo natural: \displaystyle \ln y = b_{0}+b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}.
  • A equação acima é linear nos parâmetros b_0,b_1,b_2; portanto podemos usar regressão linear múltipla para estimar esses parâmetros a partir de dados de (x_1,x_2,y) (considerando que o modelo de erros seja compatível com a transformação, por exemplo erro multiplicativo em y vira aditivo em \ln y).
  • Observação didática: é necessário garantir y>0 e que o tipo de erro implicitamente assumido (erro em y multiplicativo) seja apropriado para a análise após linearização.
  • Conclusão: C é verdadeira (com as condições usuais).

Passo 6

A afirmação D: “Dados quatro pontos de abscissas distintas, o polinômio interpolador cúbico será idêntico ao polinômio de regressão de mesmo grau.”
  • Um polinômio cúbico tem até 4 parâmetros ( b_0+b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3). Se temos exatamente quatro pontos com abscissas distintas, o polinômio interpolador cúbico é o único polinômio de grau \le 3 que passa por esses quatro pontos (unicidade do interpolador).
  • Ajustar por mínimos quadrados um polinômio cúbico a exatamente quatro pontos leva a um sistema determinado (número de equações = número de incógnitas); a soma dos quadrados dos resíduos pode ser levada a zero, obtendo-se exatamente o mesmo polinômio que interpola os pontos (matematicamente as equações normais têm solução igual à da interpolação se a matriz de Vandermonde é invertível, o que acontece quando as abscissas são distintas).
  • Portanto, para quatro pontos com abscissas distintas, o polinômio de regressão de grau 3 coincide com o polinômio interpolador cúbico.
  • Conclusão: D é verdadeira (a afirmação é correta nas condições dadas).

Passo 7

A afirmação E: “A reta de quadrados mínimos u(x)=b_{0}+b_{1} x torna mínimo o desvio \displaystyle D=\sum\left(y_{i}-u_{i}\right)^{2}. Consequentemente, ela nunca poderá passar por nenhum dos pontos dados.”
  • A primeira parte é correta: a reta de mínimos quadrados minimiza D. Vamos ver a segunda parte: “consequentemente, ela nunca poderá passar por nenhum dos pontos dados.” Essa conclusão é falsa. Explico por que: das equações normais para regressão linear simples obtemos duas propriedades importantes (mostro de forma curta):
    • \displaystyle \sum_{i=1}^n (y_i-\hat{y}_i)=0 (soma dos resíduos é zero).
    • \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i(y_i-\hat{y}_i)=0.
    • A partir das normais também vem que a reta passa pelo ponto médio dos dados: \displaystyle \hat{y}(\bar{x})=\bar{y}, isto é, o ponto (\bar{x},\bar{y}) (médias amostrais) está exatamente na reta ajustada. Isso já mostra que a reta passa por pelo menos um ponto especial (o ponto das médias), e pode coincidir com um dos pontos observados se um dos pares (x_i,y_i) for exatamente (\bar{x},\bar{y}).
  • Além disso, nada impede que a reta de mínimos quadrados passe por um ou mais pontos observados: por exemplo, se todos os pontos estiverem exatamente alinhados sobre uma reta (caso de ajuste perfeito), a reta de mínimos quadrados passa por todos os pontos; em situações menos extremas, a reta pode passar por alguns dos pontos (não é proibido).
  • Logo a conclusão “consequentemente, ela nunca poderá passar por nenhum dos pontos” é falsa. A primeira frase de E é verdadeira, a segunda é falsa e irrelevante como consequência.
  • Conclusão: E é falsa.

Passo 8

Resumo lógico das verdades/falsidades encontradas:
  • A: verdadeira.
  • B: verdadeira.
  • C: verdadeira (com a observação y>0 e modelo de erro compatível).
  • D: verdadeira (para quatro abscissas distintas, interpola = regressão de grau 3).
  • E: contém uma conclusão falsa — portanto E é a alternativa falsa pedida no enunciado.

Resposta

E

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