Questão 6 Sejam n+1 pontos \left(x_{0} ; y_{0}\right),\left(x_{1} ; y_{1}\right), \ldots,\left(x_{n} ; y_{n}\right) de abecissas igualmente espaçadas e P_{n} o polinómio interpolador definido de forma única a partir de todos estes pontos. É falso afirmar que:
(A) P_{n} é necessariamente de grau n.
(B) Se n for grande, P_{n} pode oscilar fortemente nas bordas do intervalo de interpolação; é o fenómeno de Runge.
(C) A diferença dividida de ordem n é o coeficiente que multiplica x^{n} em P_{n}(x).
(D) Dada una abecissa x qualquer, o método mais eficiente para calcular P_{n}(x) é por meio do polinómio de Gregory-Newton, se n=3.
(E) Calcular a partir dos pontos a diferença dividida de ordem n requer um número de subtraçòes quadrático cm $n.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Existem n+1 pontos \left(x_{0};y_{0}\right),\left(x_{1};y_{1}\right),\ldots,\left(x_{n};y_{n}\right) com abscissas igualmente espaçadas.
  • P_{n} é o polinómio interpolador único que passa por esses n+1 pontos.
    A pergunta: entre as alternativas (A) a (E), qual afirmação é falsa?

Passo 2

Analiso a alternativa (A): " P_{n} é necessariamente de grau n."
  • Teoria/explicação do que significa grau do polinómio interpolador: dado n+1 pontos com abscissas distintas, existe um polinómio interpolador de grau no máximo n que passa por todos os pontos; a unicidade garante que não há dois polinómios diferentes de grau ≤ n que coincidam nos n+1 pontos.
  • Importante: "no máximo n" não significa "necessariamente n". Se os pontos estiverem alinhados com um polinómio de grau menor, então o interpolador terá grau menor.
  • Exemplo concreto e simples: para n=2 pontos \left(0,0\right),\left(1,1\right),\left(2,2\right) (abscissas igualmente espaçadas), os três pontos estão numa reta y=x. O polinómio interpolador é P_{2}(x)=x, de grau 1, não de grau 2. Logo (A) é falsa.

Passo 3

Analiso a alternativa (B): “Se n for grande, P_{n} pode oscilar fortemente nas bordas do intervalo de interpolação; é o fenómeno de Runge.”
  • Explicação do fenómeno de Runge: quando se interpola funções lisas com polinómios em nós igualmente espaçados e aumenta-se n, o erro pode crescer e surgem oscilações perto das extremidades do intervalo. Um exemplo clássico é a função de Runge f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}} em [-5,5]: com nós igualmente espaçados o polinómio interpolador tende a oscilar fortemente nas bordas quando n aumenta.
  • Conclusão: (B) é verdadeira.

Passo 4

Analiso a alternativa (C): “A diferença dividida de ordem n é o coeficiente que multiplica x^{n} em P_{n}(x).”
  • Vou explicar o que é a forma de Newton (ou Gregory-Newton para nós igualmente espaçados): o polinómio interpolador pode ser escrito como
P_{n}(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+\cdots+f[x_{0},\ldots,x_{n}](x-x_{0})\cdots(x-x_{n-1}),
onde f[x_{0},\ldots,x_{k}] são as diferenças divididas de ordem k.
  • Note que o produto (x-x_{0})\cdots(x-x_{n-1}) tem coeficiente líder (de x^{n}) igual a 1. Assim, ao expandir P_{n} na base monomial 1,x,x^{2},\ldots,x^{n}, o coeficiente de x^{n} será exatamente f[x_{0},\ldots,x_{n}].
  • Exemplo pequeno: para n=2,
P_{2}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1}),
o termo x^{2} vem só de a_{2}x^{2}, logo o coeficiente de x^{2} é a_{2}=f[x_{0},x_{1},x_{2}].
  • Conclusão: (C) é verdadeira.

Passo 5

Analiso a alternativa (D): “Dada una abecissa x qualquer, o método mais eficiente para calcular P_{n}(x) é por meio do polinómio de Gregory-Newton, se n=3.”
  • Explicação do que é o polinómio de Gregory-Newton: para nós igualmente espaçados existe a fórmula de Newton (também chamada forma de Gregory-Newton) que usa diferenças finitas (em vez de diferenças divididas gerais). Essa forma é conveniente porque permite avaliação por um esquema aninhado (tipo Horner) e usa as diferenças finitas já calculadas.
  • Por que é eficiente quando os nós são igualmente espaçados: a tabela de diferenças finitas é triangular e a avaliação de
P_{n}(x)=\Delta^{0}f(x_{0})+\Delta^{1}f(x_{0})\frac{(t)}{1!}+\Delta^{2}f(x_{0})\frac{t(t-1)}{2!}+\cdots
com t=(x-x_{0})/h aceita uma forma aninhada que minimiza multiplicações e somas.
  • Para n=3 (apenas 4 nós) o custo é pequeno e a forma de Gregory-Newton é uma das formas mais práticas e rápidas para avaliar P_{3}(x), especialmente porque permite reusar as diferenças finitas. Comparado com computar diretamente Lagrange (que exige calcular vários produtos independentes), a forma Newton/Gregory com aninhamento é geralmente mais eficiente.
  • Conclusão: a afirmação é plausível e, no contexto usual de análise de métodos, consideramos (D) verdadeira (não há razão prática para dizer que é falsa especificamente para n=3).

Passo 6

Analiso a alternativa (E): “Calcular a partir dos pontos a diferença dividida de ordem n requer um número de subtrações quadrático em n.”
  • Explicação do método prático: para obter todas as diferenças divididas até ordem n monta-se a tabela triangular de diferenças. O número de entradas na metade superior da tabela (excluindo a coluna 0) é
1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2},
e cada entrada de ordem k envolve, essencialmente, uma subtração (entre valores já calculados) e uma divisão (pelo denominador que depende de abscissas). Assim o número de subtrações (e operações em geral) cresce como O(n^{2}).
  • Conclusão: (E) é verdadeira.

Passo 7

Resumo e conclusão final: a única afirmação falsa é a (A), porque o polinómio interpolador tem grau no máximo n, mas pode ter grau menor se os pontos se ajustarem a um polinómio de grau inferior (ex.: pontos colineares produzem grau 1 mesmo para n\ge 2). Portanto a alternativa falsa é (A).

Resposta

(A)

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