Questão 6 Sejam
pontos
de abecissas igualmente espaçadas e
o polinómio interpolador definido de forma única a partir de todos estes pontos. É falso afirmar que:
(A)
é necessariamente de grau
.
(B) Se
for grande,
pode oscilar fortemente nas bordas do intervalo de interpolação; é o fenómeno de Runge.
(C) A diferença dividida de ordem
é o coeficiente que multiplica
em
.
(D) Dada una abecissa
qualquer, o método mais eficiente para calcular
é por meio do polinómio de Gregory-Newton, se
.
(E) Calcular a partir dos pontos a diferença dividida de ordem
requer um número de subtraçòes quadrático cm $n.
(A)
(B) Se
(C) A diferença dividida de ordem
(D) Dada una abecissa
(E) Calcular a partir dos pontos a diferença dividida de ordem
Passo 1
O enunciado dá:
- Existem
pontos com abscissas igualmente espaçadas. -
é o polinómio interpolador único que passa por esses pontos.
A pergunta: entre as alternativas (A) a (E), qual afirmação é falsa?
Passo 2
Analiso a alternativa (A): "
é necessariamente de grau
."
- Teoria/explicação do que significa grau do polinómio interpolador: dado
pontos com abscissas distintas, existe um polinómio interpolador de grau no máximo que passa por todos os pontos; a unicidade garante que não há dois polinómios diferentes de grau ≤ que coincidam nos pontos. - Importante: "no máximo
" não significa "necessariamente ". Se os pontos estiverem alinhados com um polinómio de grau menor, então o interpolador terá grau menor. - Exemplo concreto e simples: para
pontos (abscissas igualmente espaçadas), os três pontos estão numa reta . O polinómio interpolador é , de grau , não de grau . Logo (A) é falsa.
Passo 3
Analiso a alternativa (B): “Se
for grande,
pode oscilar fortemente nas bordas do intervalo de interpolação; é o fenómeno de Runge.”
- Explicação do fenómeno de Runge: quando se interpola funções lisas com polinómios em nós igualmente espaçados e aumenta-se
, o erro pode crescer e surgem oscilações perto das extremidades do intervalo. Um exemplo clássico é a função de Runge em : com nós igualmente espaçados o polinómio interpolador tende a oscilar fortemente nas bordas quando aumenta. - Conclusão: (B) é verdadeira.
Passo 4
Analiso a alternativa (C): “A diferença dividida de ordem
é o coeficiente que multiplica
em
.”
- Vou explicar o que é a forma de Newton (ou Gregory-Newton para nós igualmente espaçados): o polinómio interpolador pode ser escrito como
onde
são as diferenças divididas de ordem
.
- Note que o produto
tem coeficiente líder (de ) igual a . Assim, ao expandir na base monomial , o coeficiente de será exatamente . - Exemplo pequeno: para
,
o termo
vem só de
, logo o coeficiente de
é
.
- Conclusão: (C) é verdadeira.
Passo 5
Analiso a alternativa (D): “Dada una abecissa
qualquer, o método mais eficiente para calcular
é por meio do polinómio de Gregory-Newton, se
.”
- Explicação do que é o polinómio de Gregory-Newton: para nós igualmente espaçados existe a fórmula de Newton (também chamada forma de Gregory-Newton) que usa diferenças finitas (em vez de diferenças divididas gerais). Essa forma é conveniente porque permite avaliação por um esquema aninhado (tipo Horner) e usa as diferenças finitas já calculadas.
- Por que é eficiente quando os nós são igualmente espaçados: a tabela de diferenças finitas é triangular e a avaliação de
com
aceita uma forma aninhada que minimiza multiplicações e somas.
- Para
(apenas 4 nós) o custo é pequeno e a forma de Gregory-Newton é uma das formas mais práticas e rápidas para avaliar , especialmente porque permite reusar as diferenças finitas. Comparado com computar diretamente Lagrange (que exige calcular vários produtos independentes), a forma Newton/Gregory com aninhamento é geralmente mais eficiente. - Conclusão: a afirmação é plausível e, no contexto usual de análise de métodos, consideramos (D) verdadeira (não há razão prática para dizer que é falsa especificamente para
).
Passo 6
Analiso a alternativa (E): “Calcular a partir dos pontos a diferença dividida de ordem
requer um número de subtrações quadrático em
.”
- Explicação do método prático: para obter todas as diferenças divididas até ordem
monta-se a tabela triangular de diferenças. O número de entradas na metade superior da tabela (excluindo a coluna 0) é
e cada entrada de ordem
envolve, essencialmente, uma subtração (entre valores já calculados) e uma divisão (pelo denominador que depende de abscissas). Assim o número de subtrações (e operações em geral) cresce como
.
- Conclusão: (E) é verdadeira.
Passo 7
Resumo e conclusão final: a única afirmação falsa é a (A), porque o polinómio interpolador tem grau no máximo
, mas pode ter grau menor se os pontos se ajustarem a um polinómio de grau inferior (ex.: pontos colineares produzem grau
mesmo para
). Portanto a alternativa falsa é (A).
Resposta
(A)