Seja Q o quadrilátero em \mathbb{R}^{2} cujos vétices, quando percorridos no sentido anti-horário, são (0,0) \quad(2,0) \quad(7,29) \quad(0,2). Qual o valor de \int_{Q}-y d x+x d y ?
(a) 72
(b) 75
(c) 0
(d) 69
(e) 78
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral de linha fechado
\oint_{Q}(-y\,dx + x\,dy)
sobre o quadrilátero Q com vértices (0,0), (2,0), (7,29), (0,2) percorridos no sentido anti-horário.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona um integral de linha fechado em torno de uma região a uma integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Pelo Teorema de Green, se P(x,y)=-y e Q(x,y)=x, então
Calculamos as derivadas: \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1
e \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial(-y)}{\partial y}=-1.
Logo o integrando é
Vamos achar \text{Área}(Q) pelo método do polígono (fórmula de Gauss / shoelace). Lista de vértices em ordem anti-horária: (x_1,y_1)=(0,0), (x_2,y_2)=(2,0), (x_3,y_3)=(7,29), (x_4,y_4)=(0,2),
e voltamos a (x_5,y_5)=(x_1,y_1)=(0,0).
A área é