Seja Q o quadrilátero em \mathbb{R}^{2} cujos vétices, quando percorridos no sentido anti-horário, são (0,0) \quad(2,0) \quad(7,29) \quad(0,2). Qual o valor de \int_{Q}-y d x+x d y ?
(a) 72
(b) 75
(c) 0
(d) 69
(e) 78

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral de linha fechado
\oint_{Q}(-y\,dx + x\,dy)
sobre o quadrilátero Q com vértices (0,0), (2,0), (7,29), (0,2) percorridos no sentido anti-horário.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona um integral de linha fechado em torno de uma região a uma integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se P(x,y)=-y e Q(x,y)=x, então
\oint_{Q}(-y\,dx + x\,dy) =\iint_{Q}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos as derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1
e
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial(-y)}{\partial y}=-1.
Logo o integrando é
1 - (-1)=2,
e
\oint_{Q}(-y\,dx + x\,dy)=2\iint_{Q}1\,dA=2\cdot\text{Área}(Q).Á

Passo 3

Vamos achar \text{Área}(Q)Á pelo método do polígono (fórmula de Gauss / shoelace). Lista de vértices em ordem anti-horária:
(x_1,y_1)=(0,0),
(x_2,y_2)=(2,0),
(x_3,y_3)=(7,29),
(x_4,y_4)=(0,2),
e voltamos a (x_5,y_5)=(x_1,y_1)=(0,0).
A área é
\text{Área}(Q) =\frac{1}{2}\Bigl|\sum_{i=1}^{4}x_i\,y_{i+1}-\sum_{i=1}^{4}y_i\,x_{i+1}\Bigr|.Á
Calculando cada soma:
\sum x_i\,y_{i+1}=0\cdot0 + 2\cdot29 +7\cdot2 +0\cdot0=58+14=72,
\sum y_i\,x_{i+1}=0\cdot2 +0\cdot7 +29\cdot0 +2\cdot0=0.
Portanto
\text{Área}(Q)=\frac{1}{2}|72-0|=36.Á

Passo 4

Substituindo em \oint_{Q}(-y\,dx + x\,dy)=2\cdot\text{Área}(Q)Á, obtemos
\oint_{Q}(-y\,dx + x\,dy)=2\cdot36=72.

Resposta

72

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