A 2-forma diferenciável (5 x d x+2 y d y) \wedge\left(4 y d x+2 x^{2} d y\right) é igual a
a \quad\left(x^{2}-10 y^{2}\right) d x \wedge d y
b \left(10 x^{3}-8 y^{2}\right) d x \wedge d y
c 5\left(x^{3}+y^{2}\right) d x \wedge d y
d 2\left(x^{3}-y^{3}\right) d x \wedge d y
e \left(-2 x^{3}+y^{2}\right) d x \wedge d y

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a 2-forma diferencial resultante de
(5x\,dx + 2y\,dy)\wedge(4y\,dx + 2x^2\,dy).
O conteúdo necessário é a bilinearidade e anticomutatividade do produto wedge, sabendo que
dx\wedge dx = 0,\quad dy\wedge dy = 0,\quad dy\wedge dx = -\,dx\wedge dy.

Passo 2

Aplicando a bilinearidade, expandimos:
(5x\,dx+2y\,dy)\wedge(4y\,dx+2x^2\,dy) =5x\,dx\wedge4y\,dx +5x\,dx\wedge2x^2\,dy +2y\,dy\wedge4y\,dx +2y\,dy\wedge2x^2\,dy.

Passo 3

Usamos dx\wedge dx=0 e dy\wedge dy=0, eliminando a 1ª e a 4ª parcelas. Restam
5x\cdot2x^2\,dx\wedge dy +2y\cdot4y\,dy\wedge dx =10x^3\,dx\wedge dy +8y^2\,dy\wedge dx.
Como dy\wedge dx=-\,dx\wedge dy, isto é
10x^3\,dx\wedge dy -8y^2\,dx\wedge dy =(10x^3-8y^2)\,dx\wedge dy.

Resposta

b

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