Verifique se a transformação entre os espaços vetoriais dados são lineares ou não.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde T(x, y)=\left(x \cos 30^{\circ}-y \operatorname{sen} 30^{\circ}, x \operatorname{sen} 30^{\circ}+y \cos 30^{\circ}\right);

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2
por
T(x,y)=\bigl(x\cos30^\circ - y\sin30^\circ,\;x\sin30^\circ + y\cos30^\circ\bigr).
Queremos verificar a linearidade de T, ou seja, checar se valem simultaneamente
1. T(u+v)=T(u)+T(v) para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^2.
2. T(\lambda v)=\lambda\,T(v) para todo \lambda\in\mathbb{R} e v\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2),
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T(u+v) =\bigl((x_1+x_2)\cos30^\circ - (y_1+y_2)\sin30^\circ,\;(x_1+x_2)\sin30^\circ + (y_1+y_2)\cos30^\circ\bigr).
Distribuindo soma e produto escalar, obtemos
T(u+v) =\bigl(x_1\cos30^\circ - y_1\sin30^\circ,\;x_1\sin30^\circ + y_1\cos30^\circ\bigr) +\bigl(x_2\cos30^\circ - y_2\sin30^\circ,\;x_2\sin30^\circ + y_2\cos30^\circ\bigr),
que é exatamente
T(u)+T(v).

Passo 3

Para homogeneidade, seja \lambda\in\mathbb{R} e v=(x,y). Então
\lambda v = (\lambda x,\;\lambda y),
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T(\lambda v) =\bigl(\lambda x\cos30^\circ - \lambda y\sin30^\circ,\;\lambda x\sin30^\circ + \lambda y\cos30^\circ\bigr).
Como \lambda é comum a todos os termos, isso é
\lambda\bigl(x\cos30^\circ - y\sin30^\circ,\;x\sin30^\circ + y\cos30^\circ\bigr) =\lambda\,T(x,y).

Passo 4

Vimos que T satisfaz aditividade e homogeneidade. Alternativamente, notamos que
T(x,y) =\begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ\\[6pt] \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
ou seja, T é dada por multiplicação por uma matriz fixa, o que garante linearidade.]

Resposta

A transformação T é linear.

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