Verifique se a transformação entre os espaços vetoriais dados são lineares ou não.
onde
;
Passo 1
O enunciado define
por
Queremos verificar a linearidade de
, ou seja, checar se valem simultaneamente
.
para quaisquer
.
.
para todo
e
.
Passo 2
Sejam
e
. Então
logo
Distribuindo soma e produto escalar, obtemos
que é exatamente
Passo 3
Para homogeneidade, seja
e
. Então
logo
Como
é comum a todos os termos, isso é
Passo 4
Vimos que
satisfaz aditividade e homogeneidade. Alternativamente, notamos que
ou seja,
é dada por multiplicação por uma matriz fixa, o que garante linearidade.]
Resposta
A transformação
é linear.