Duas sacolas têm cada uma m moedas de R$0,50 e n moedas de R$0,25. Extraise uma moeda de cada sacola.
b. Mostrar que essa probabilidade é maior do que a de extrair duas moedas de 0,50 e n moedas de R de uma única sacola com todas as moedas.

Passo 1

Então, galera! A gente tem duas sacolas, cada uma com m moedas de R$0,50 e n moedas de R$0,25. A pergunta aqui é mostrar que a chance de tirar uma moeda de cada sacola sendo ambas de R$0,50 é maior do que tirar duas moedas de R$0,50 de uma única sacola que tem todas as moedas. Vamos usar probabilidade para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de tirar uma moeda de R$0,50 de cada sacola. Cada sacola tem m moedas de R$0,50 e n moedas de R$0,25. O total de moedas em cada sacola é m + n.
A probabilidade de tirar uma moeda de R$0,50 de uma sacola é:
0,50 de cada sacola Cada sacola tem m moedas de R
Como são duas sacolas independentes, a probabilidade de tirar uma moeda de R$0,50 de cada sacola é o produto das duas probabilidades:
0,25 O total de moedas em cada sacola é m + n A probabilidade de tirar uma moeda de R

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar duas moedas de R$0,50 de uma única sacola que tem todas as moedas. Supondo que esta sacola tenha 2m moedas de R$0,50 e 2n moedas de R$0,25 (já que temos duas sacolas originalmente), o total de moedas na sacola é:
0,50 de uma única sacola que tem todas as moedas Supondo que esta sacola tenha 2m moedas de R
A probabilidade de tirar a primeira moeda de R$0,50 é:
0,25 (já que temos duas sacolas originalmente), o total de moedas na sacola é:
Após tirar a primeira moeda de R$0,50, restam (2m - 1) moedas de R$0,50 e 2n moedas de R$0,25, totalizando:
Total de moedas = 2m + 2n = 2(m + n)
A probabilidade de tirar a segunda moeda de R$0,50 é então:
A probabilidade de tirar a primeira moeda de R
Portanto, a probabilidade total de tirar duas moedas de R$0,50 da mesma sacola é:
P(Primeira R$0,50) = 2m2(m + n) = mm + n

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas probabilidades $ P_1 $ e $ P_2 $:
P1
P2
Queremos mostrar que $ P_1 > P_2 $.

Passo 5

Vamos dividir $ P_1 $ por $ P_2 $ para ver se o resultado é maior que 1:
P1
Simplificando:
P2
P1P2 = (mm + n)^2mm + n times 2m - 12(m + n) - 1 = mm + n2m - 12(m + n) - 1 = m(2(m + n) - 1)(m + n)(2m - 1)
Como todas as quantidades são positivas, podemos analisar se $ 2(m + n) - 1 > (m + n) \times \frac{2m - 1}{m} $.
Após simplificação, verificamos que $ \frac{P_1}{P_2} > 1 $, ou seja, $ P_1 > P_2 $.

Resposta

A probabilidade de extrair uma moeda de R$0,50 de cada sacola é maior do que a probabilidade de extrair duas moedas de R$0,50 de uma única sacola.

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