Suponha que a probabilidade de atingir um alvo é 0,25 . Disparando-se oito tiros ao alvo, qual a probabilidade de que o alvo seja atingido pelo menos duas vezes?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade. A situação é a seguinte: a chance de acertar um alvo em um único tiro é de 25% (ou seja, 0,25). Queremos descobrir qual a probabilidade de, ao disparar oito tiros, acertarmos o alvo pelo menos duas vezes. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que nos ajuda a calcular a chance de obter um certo número de sucessos em várias tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “acertar o alvo pelo menos duas vezes”. Isso quer dizer que podemos acertar o alvo 2, 3, 4, …, até 8 vezes. Mas calcular a probabilidade para cada um desses casos e somar pode ser trabalhoso. Uma maneira mais simples é calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de não acertar o alvo pelo menos duas vezes, que corresponde a acertar menos de duas vezes (0 ou 1 vez), e depois subtrair esse valor de 1.

Passo 3

Para usar a fórmula da probabilidade binomial, precisamos dos seguintes valores:
  • n: número de tentativas (no nosso caso, 8 tiros)
  • k: número de sucessos desejados (vamos calcular para k=0 e k=1)
  • p: probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,25)
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
onde binomnk é o número de combinações de n itens tomados k a k.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de acertar 0 vezes:
P(X = 0) = binom80 times (0,25)^0 times (0,75)^8
Sabemos que binom80 = 1 e (0,25)^0 = 1, então:
P(X = 0) = 1 times 1 times (0,75)^8 approx 0,1001

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de acertar 1 vez:
P(X = 1) = binom81 times (0,25)^1 times (0,75)^7
Calculando binom81 = 8, temos:
P(X = 1) = 8 times 0,25 times (0,75)^7 approx 8 times 0,25 times 0,1335 approx 0,2673

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades de acertar 0 e 1 vez:
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) approx 0,1001 + 0,2673 = 0,3674

Passo 7

Finalmente, para encontrar a probabilidade de acertar pelo menos duas vezes, subtraímos esse valor de 1:
P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0,3674 = 0,6326

Resposta

A probabilidade de acertar o alvo pelo menos duas vezes em oito tiros é de aproximadamente 63,26%.

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