Duas superfícies esféricas concêntricas de raios a e 2 a possuem cargas 2 Q e -Q uniformemente distribuídas em suas superfícies, com a carga positiva na superfície de raio menor.
(a) Determine o campo eletrostático produzido por este sistema em todo o espaço (usando a lei de Gauss).
(b) Determine a ddp entre as superfícies.
(c) Determine o potencial eletrostático no centro (origem).

Passo 1

O exercício trata de duas cascas esféricas concêntricas de raios a e 2a com cargas superficiais +2Q na casca interna e -Q na casca externa. Vamos usar a lei de Gauss para achar o campo elétrico, depois integrar esse campo para obter a diferença de potencial entre as superfícies e, por fim, o potencial no centro.

Passo 2

Para r<a, qualquer superfície gaussiana esférica de raio r<a não envolve carga alguma, logo, pela lei de Gauss, o fluxo do campo é zero e, portanto,
E(r)=0( r<a)

Passo 3

Para a<r<2a, a superfície gaussiana de raio r engloba apenas a carga +2Q. A lei de Gauss dá
Phi=E(r),4pi r^2=2Qvarepsilon0Longrightarrow E(r)=2Q4pivarepsilon0,r^2,hat r(a<r<2a)

Passo 4

Para r>2a, a superfície gaussiana engloba as duas cascas, de modo que a carga total é +2Q+(-Q)=Q. Assim,
Phi=E(r),4pi r^2=Qvarepsilon0Longrightarrow E(r)=Q4pivarepsilon0,r^2,hat r(r>2a)

Passo 5

Para a diferença de potencial entre as superfícies, calculamos
De<a V=V(a)-V(2a)=-integrala^2aE(r),dr=-integrala^2a2Q4pivarepsilon0,r^2,dr=Q4pivarepsilon0,a

Passo 6

Para o potencial no centro, assumindo V(infty)=0, fazemos a integral em três trechos (de infty até 2a, de 2a até a e de a até 0, sabendo que E=0 em r<a):
V(0)=-integralinfty^0E(r),dr=Q4pivarepsilon0l(12a+1ar)=3Q8pivarepsilon0,a

Resposta

(a) O campo elétrico é
E(r)= 0,&r<a, dfrac2Q4pivarepsilon0,r^2,hat r,&a<r<2a, dfracQ4pivarepsilon0,r^2,hat r,&r>2a
(b) A diferença de potencial entre as superfícies é
V(a)-V(2a)=Q4pivarepsilon0,a
(c) O potencial no centro vale
V(0)=3Q8pivarepsilon0,a

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